基础数学示例

$3 (10^{6 y}) = 11 (10^{3 y}) + 4$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $11 \cdot 10^{3 y}$ 。

$3 \cdot 10^{6 y} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

解题步骤 2

将 $10^{6 y}$ 重写为乘方形式。

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

解题步骤 3

将 $10^{3 y}$ 重写为乘方形式。

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot {(10^{y})}^{3} = 4$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $10^{y}$ 。

$3 \cdot u^{6} - 11 \cdot u^{3} = 4$

解题步骤 5

将 $- 11$ 乘以 $u^{3}$ 。

$3 u^{6} - 11 u^{3} = 4$

解题步骤 6

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$3 u^{6} - 11 u^{3} - 4 = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

将 $u^{6}$ 重写为 ${(u^{3})}^{2}$ 。

$3 {(u^{3})}^{2} - 11 u^{3} - 4 = 0$

解题步骤 6.2.2

使 $u = u^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $u^{3}$ 。

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

解题步骤 6.2.3

分组因式分解。

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解题步骤 6.2.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1

从 $- 11 u$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

解题步骤 6.2.3.1.2

把 $- 11$ 重写为 $1$ 加 $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

解题步骤 6.2.3.1.3

运用分配律。

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

解题步骤 6.2.3.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

解题步骤 6.2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

解题步骤 6.2.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

解题步骤 6.2.3.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

解题步骤 6.2.4

使用 $u^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 u^{3} + 1 = 0$

$u^{3} - 4 = 0$

解题步骤 6.4

将 $3 u^{3} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $3 u^{3} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 u^{3} + 1 = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $u$ 的 $3 u^{3} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 u^{3} = - 1$

解题步骤 6.4.2.2

将 $3 u^{3} = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $3 u^{3} = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2.1.2

用 $u^{3}$ 除以 $1$ 。

$u^{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u^{3} = - \frac{1}{3}$

解题步骤 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 6.4.2.4

化简 $\sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 6.4.2.4.1

将 $- \frac{1}{3}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 6.4.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3}}$

解题步骤 6.4.2.4.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$u = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}}$

解题步骤 6.4.2.4.2

从根式下提出各项。

$u = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6.4.2.4.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$u = - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6.4.2.4.4

将 $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$ 。

$u = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$

解题步骤 6.4.2.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$u = - \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

解题步骤 6.4.2.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ 。

$u = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

解题步骤 6.4.2.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.2.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ 。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.2

对 $\sqrt[3]{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.5

将 ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.4.2.4.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{3}}$ 。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.4.7.5.4.1

约去公因数。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.5.4.2

重写表达式。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

解题步骤 6.4.2.4.7.5.5

计算指数。

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

解题步骤 6.4.2.4.8

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.4.8.1

将 ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{3^{2}}$ 。

$u = - \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

解题步骤 6.4.2.4.8.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

解题步骤 6.5

将 $u^{3} - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $u^{3} - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u^{3} - 4 = 0$

解题步骤 6.5.2

求解 $u$ 的 $u^{3} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$u^{3} = 4$

解题步骤 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{4}$

解题步骤 6.6

最终解为使 $(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}, \sqrt[3]{4}$

解题步骤 7

代入 $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ 替换 $u = 10^{y}$ 中的 $u$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$

解题步骤 8

求解 $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ 。

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

解题步骤 8.2

方程两边同时取以 $10$ 为底的对数来去掉指数中的变量。

$\log (10^{y}) = \log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$

解题步骤 8.3

因为 $\log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 8.4

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ 无解

无解

解题步骤 9

代入 $\sqrt[3]{4}$ 替换 $u = 10^{y}$ 中的 $u$ 。

$\sqrt[3]{4} = 10^{y}$

解题步骤 10

求解 $\sqrt[3]{4} = 10^{y}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $10^{y} = \sqrt[3]{4}$ 。

$10^{y} = \sqrt[3]{4}$

解题步骤 10.2

方程两边同时取以 $10$ 为底的对数来去掉指数中的变量。

$\log (10^{y}) = \log (\sqrt[3]{4})$

解题步骤 10.3

展开左边。

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解题步骤 10.3.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\log (10^{y})$ 。

$y \log (10) = \log (\sqrt[3]{4})$

解题步骤 10.3.2

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \log (\sqrt[3]{4})$

解题步骤 10.3.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

小数形式：

$y = 0.20068666 \dots$

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