基础数学示例

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

解题步骤 1

取方程两边的对数。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

解题步骤 2

将

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ 重写为

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ 。

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

解题步骤 3

将

$\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ 重写为

$\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ 。

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

解题步骤 4

求解

$n$ 的方程。

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解题步骤 4.1

使用对数的商数性质，即

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

解题步骤 4.2

使用对数的商数性质，即

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

解题步骤 4.3

将所有包含

$n$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去

$\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ 。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

解题步骤 4.3.2

使用对数的商数性质，即

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

解题步骤 4.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

解题步骤 4.3.4

将

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ 乘以

$\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ 。

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

解题步骤 4.4

利用对数的定义将

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ 重写成指数形式。如果

$x$ 和

$b$ 都是正实数且

$b$

$\neq$

$1$ ，则

$\log_{b} (x) = y$ 等价于

$b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

解题步骤 4.5

交叉相乘以去掉分数。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

解题步骤 4.6

化简

$e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ 。

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解题步骤 4.6.1

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1.1

任何数的

$0$ 次方都是

$1$ 。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

解题步骤 4.6.1.2

将

$2 (1 + 4^{n})$ 乘以

$1$ 。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

解题步骤 4.6.2

运用分配律。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

解题步骤 4.6.3

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

解题步骤 4.6.4

乘以

$2 \cdot 4^{n}$ 。

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解题步骤 4.6.4.1

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

解题步骤 4.6.4.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

解题步骤 4.6.4.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

解题步骤 4.7

将所有包含

$n$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.7.1

从等式两边同时减去

$2^{1 + 2 n}$ 。

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2

化简每一项。

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解题步骤 4.7.2.1

使用 FOIL 方法展开

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ 。

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解题步骤 4.7.2.1.1

运用分配律。

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.1.2

运用分配律。

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.1.3

运用分配律。

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.7.2.2.1

通过指数相加将

$2^{n}$ 乘以

$2^{n}$ 。

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解题步骤 4.7.2.2.1.1

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.2.1.2

将

$n$ 和

$n$ 相加。

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.2.2

将

$2^{n}$ 乘以

$1$ 。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.2.3

通过指数相加将

$2^{- n}$ 乘以

$2^{n}$ 。

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解题步骤 4.7.2.2.3.1

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.2.3.2

将

$- n$ 和

$n$ 相加。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.2.4

化简

$2^{0}$ 。

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.7.2.2.5

将

$2^{- n}$ 乘以

$1$ 。

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

解题步骤 4.8

将所有不包含

$n$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.8.1

从等式两边同时减去

$1$ 。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

解题步骤 4.8.2

从

$2$ 中减去

$1$ 。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

解题步骤 4.9

将

$2^{1 + 2 n}$ 重写为

$2^{1} \cdot 2^{2 n}$ 。

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

解题步骤 4.10

将

$2^{2 n}$ 重写为乘方形式。

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

解题步骤 4.11

将

$2^{- n}$ 重写为乘方形式。

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

解题步骤 4.12

将

$2^{2 n}$ 重写为乘方形式。

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

解题步骤 4.13

去掉圆括号。

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

解题步骤 4.14

代入

$u$ 替换

$2^{n}$ 。

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

解题步骤 4.15

化简每一项。

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解题步骤 4.15.1

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

解题步骤 4.15.2

计算指数。

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

解题步骤 4.15.3

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

解题步骤 4.16

从

$u^{2}$ 中减去

$2 u^{2}$ 。

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

解题步骤 4.17

求解

$u$ 。

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解题步骤 4.17.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.17.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, 1, u, 1$

解题步骤 4.17.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 4.17.2

将

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ 中的每一项乘以

$u$ 以消去分数。

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解题步骤 4.17.2.1

将

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ 中的每一项乘以

$u$ 。

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

解题步骤 4.17.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.17.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.17.2.2.1.1

通过指数相加将

$u^{2}$ 乘以

$u$ 。

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解题步骤 4.17.2.2.1.1.1

移动

$u$ 。

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

解题步骤 4.17.2.2.1.1.2

将

$u$ 乘以

$u^{2}$ 。

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解题步骤 4.17.2.2.1.1.2.1

对

$u$ 进行

$1$ 次方运算。

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

解题步骤 4.17.2.2.1.1.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

解题步骤 4.17.2.2.1.1.3

将

$1$ 和

$2$ 相加。

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

解题步骤 4.17.2.2.1.2

将

$u$ 乘以

$u$ 。

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

解题步骤 4.17.2.2.1.3

约去

$u$ 的公因数。

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解题步骤 4.17.2.2.1.3.1

约去公因数。

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

解题步骤 4.17.2.2.1.3.2

重写表达式。

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

解题步骤 4.17.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.17.2.3.1

将

$u$ 乘以

$1$ 。

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

解题步骤 4.17.3

求解方程。

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解题步骤 4.17.3.1

从等式两边同时减去

$u$ 。

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

解题步骤 4.17.3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.17.3.2.1

重新排序项。

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

解题步骤 4.17.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.17.3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

解题步骤 4.17.3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

解题步骤 4.17.3.2.3

通过因式分解出最大公因数

$- u + 1$ 来因式分解多项式。

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

解题步骤 4.17.3.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

解题步骤 4.17.3.4

将

$- u + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$u$ 。

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解题步骤 4.17.3.4.1

将

$- u + 1$ 设为等于

$0$ 。

$- u + 1 = 0$

解题步骤 4.17.3.4.2

求解

$u$ 的

$- u + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.17.3.4.2.1

从等式两边同时减去

$1$ 。

$- u = - 1$

解题步骤 4.17.3.4.2.2

将

$- u = - 1$ 中的每一项除以

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.17.3.4.2.2.1

将

$- u = - 1$ 中的每一项都除以

$- 1$ 。

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.17.3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.17.3.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.17.3.4.2.2.2.2

用

$u$ 除以

$1$ 。

$u = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.17.3.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.17.3.4.2.2.3.1

用

$- 1$ 除以

$- 1$ 。

$u = 1$

解题步骤 4.17.3.5

将

$u^{2} + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$u$ 。

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解题步骤 4.17.3.5.1

将

$u^{2} + 1$ 设为等于

$0$ 。

$u^{2} + 1 = 0$

解题步骤 4.17.3.5.2

求解

$u$ 的

$u^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.17.3.5.2.1

从等式两边同时减去

$1$ 。

$u^{2} = - 1$

解题步骤 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 4.17.3.5.2.3

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$u = \pm i$

解题步骤 4.17.3.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.17.3.5.2.4.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$u = i$

解题步骤 4.17.3.5.2.4.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - i$

解题步骤 4.17.3.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = i, - i$

解题步骤 4.17.3.6

最终解为使

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 1, i, - i$

解题步骤 4.18

代入

$1$ 替换

$u = 2^{n}$ 中的

$u$ 。

$1 = 2^{n}$

解题步骤 4.19

求解

$1 = 2^{n}$ 。

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解题步骤 4.19.1

将方程重写为

$2^{n} = 1$ 。

$2^{n} = 1$

解题步骤 4.19.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

解题步骤 4.19.3

通过将

$n$ 移到对数外来展开

$\ln (2^{n})$ 。

$n \ln (2) = \ln (1)$

解题步骤 4.19.4

化简右边。

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解题步骤 4.19.4.1

$1$ 的自然对数为

$0$ 。

$n \ln (2) = 0$

解题步骤 4.19.5

将

$n \ln (2) = 0$ 中的每一项除以

$\ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 4.19.5.1

将

$n \ln (2) = 0$ 中的每一项都除以

$\ln (2)$ 。

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

解题步骤 4.19.5.2

化简左边。

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解题步骤 4.19.5.2.1

约去

$\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 4.19.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

解题步骤 4.19.5.2.1.2

用

$n$ 除以

$1$ 。

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

解题步骤 4.19.5.3

化简右边。

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解题步骤 4.19.5.3.1

用

$0$ 除以

$\ln (2)$ 。

$n = 0$

解题步骤 4.20

代入

$i$ 替换

$u = 2^{n}$ 中的

$u$ 。

$i = 2^{n}$

解题步骤 4.21

求解

$i = 2^{n}$ 。

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解题步骤 4.21.1

将方程重写为

$2^{n} = i$ 。

$2^{n} = i$

解题步骤 4.21.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

解题步骤 4.21.3

通过将

$n$ 移到对数外来展开

$\ln (2^{n})$ 。

$n \ln (2) = \ln (i)$

解题步骤 4.21.4

将

$n \ln (2) = \ln (i)$ 中的每一项除以

$\ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 4.21.4.1

将

$n \ln (2) = \ln (i)$ 中的每一项都除以

$\ln (2)$ 。

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.21.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.21.4.2.1

约去

$\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 4.21.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.21.4.2.1.2

用

$n$ 除以

$1$ 。

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.22

代入

$- i$ 替换

$u = 2^{n}$ 中的

$u$ 。

$- i = 2^{n}$

解题步骤 4.23

求解

$- i = 2^{n}$ 。

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解题步骤 4.23.1

将方程重写为

$2^{n} = - i$ 。

$2^{n} = - i$

解题步骤 4.23.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

解题步骤 4.23.3

因为

$\ln (- i)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.23.4

$2^{n} = - i$ 无解

无解

解题步骤 4.24

列出使方程成立的解。

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

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