基础数学示例

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}}$

解题步骤 2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}$

解题步骤 2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}$

解题步骤 2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}}$

解题步骤 2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}$

解题步骤 2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}}$

解题步骤 2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}}$

解题步骤 2.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}}}$

解题步骤 2.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt{\sqrt{2}}}$

解题步骤 4

将 $\sqrt{\sqrt{2}}$ 重写为 $\sqrt[4]{2}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt[4]{2}}$

解题步骤 5

要将 $- \sqrt[4]{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} - \sqrt[4]{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 6

组合 $- \sqrt[4]{2}$ 和 $\frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5} + 3} + \frac{- \sqrt[4]{2} (\sqrt{5} + 3)}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{2} (\sqrt{5} + 3)}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 8

以因式分解的形式重写 $\frac{5 - \sqrt[4]{2} (\sqrt{5} + 3)}{\sqrt{5} + 3}$ 。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 8.2

乘以 $- \sqrt[4]{2} \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 8.2.1

使用 $4$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 8.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{5 - (5^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $5^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $5^{\frac{2}{4}}$ 。

$\sqrt{\frac{5 - (5^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 8.2.1.3

将 $5^{\frac{2}{4}}$ 重写为 $\sqrt[4]{5^{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{5 - (\sqrt[4]{5^{2}} \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 8.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{5^{2} \cdot 2} - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 8.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{25 \cdot 2} - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 8.2.4

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{50} - \sqrt[4]{2} \cdot 3}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 8.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} + 3}}$

解题步骤 9

将 $\frac{5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} + 3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 3}$ 。

$\sqrt{\frac{5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} + 3} \cdot \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 3}}$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} + 3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 3}$ 。

$\sqrt{\frac{(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3)}}$

解题步骤 10.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{\frac{(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{5} \cdot - 3 + 3 \sqrt{5} - 9}}$

解题步骤 10.3

化简。

$\sqrt{\frac{(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)}{- 4}}$

解题步骤 10.4

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{- \frac{(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)}{4}}$

解题步骤 11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(5 - \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} - 3)$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} + 5 \cdot - 3 - \sqrt[4]{50} \sqrt{5} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 12

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{50} \sqrt{5} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 13

乘以 $- \sqrt[4]{50} \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 13.1

使用 $4$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 13.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - (5^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{50}) - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 13.1.2

将 $5^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $5^{\frac{2}{4}}$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - (5^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{50}) - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 13.1.3

将 $5^{\frac{2}{4}}$ 重写为 $\sqrt[4]{5^{2}}$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - (\sqrt[4]{5^{2}} \sqrt[4]{50}) - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 13.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{5^{2} \cdot 50} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 13.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{25 \cdot 50} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 13.4

将 $25$ 乘以 $50$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{1250} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 14

将 $1250$ 重写为 $5^{4} \cdot 2$ 。

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解题步骤 14.1

从 $1250$ 中分解出因数 $625$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{625 (2)} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 14.2

将 $625$ 重写为 $5^{4}$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - \sqrt[4]{5^{4} \cdot 2} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 15

从根式下提出各项。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - (5 \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 16

乘。

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解题步骤 16.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{50} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 16.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 17

乘以 $- 3 \sqrt[4]{2} \sqrt{5}$ 。

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解题步骤 17.1

使用 $4$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 17.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 (5^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{2}) - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 17.1.2

将 $5^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $5^{\frac{2}{4}}$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 (5^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{2}) - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 17.1.3

将 $5^{\frac{2}{4}}$ 重写为 $\sqrt[4]{5^{2}}$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 (\sqrt[4]{5^{2}} \sqrt[4]{2}) - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 17.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{5^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 17.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{25 \cdot 2} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 17.4

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{2} \cdot - 3}{4}}$

解题步骤 18

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 - 5 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{50} + 9 \sqrt[4]{2}}{4}}$

解题步骤 19

化简分子。

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解题步骤 19.1

将 $- 5 \sqrt[4]{2}$ 和 $9 \sqrt[4]{2}$ 相加。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{50} - 3 \sqrt[4]{50}}{4}}$

解题步骤 19.2

从 $3 \sqrt[4]{50}$ 中减去 $3 \sqrt[4]{50}$ 。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2} + 0}{4}}$

解题步骤 19.3

将 $5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{- \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}{4}}$

解题步骤 20

将 $- \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}{4}$ 重写为 ${(\frac{i}{2})}^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})$ 。

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解题步骤 20.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$\sqrt{i^{2} \frac{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}{4}}$

解题步骤 20.2

从 $5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})}{4}}$

解题步骤 20.3

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 20.4

重新整理分数 $\frac{1^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}))}$

解题步骤 20.5

将 $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ 重写为 ${(\frac{i}{2})}^{2}$ 。

$\sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} (5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2})}$

解题步骤 21

从根式下提出各项。

$\frac{i}{2} \sqrt{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}$

解题步骤 22

组合 $\frac{i}{2}$ 和 $\sqrt{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}$ 。

$\frac{i \sqrt{5 \sqrt{5} - 15 + 4 \sqrt[4]{2}}}{2}$

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