基础数学示例

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + {(1 + i)}^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + {(1 + i)}^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

一的任意次幂都为一。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.2

一的任意次幂都为一。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.3

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.4

一的任意次幂都为一。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.5

将

6

$6$ 乘以

1

$1$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.6

将

i^{2}

$i^{2}$ 重写为

- 1

$- 1$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.7

将

6

$6$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.8

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.9

因式分解出

i^{2}

$i^{2}$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.10

将

i^{2}

$i^{2}$ 重写为

- 1

$- 1$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.11

将

- 1 i

$- 1 i$ 重写为

- i

$- i$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.12

将

- 1

$- 1$ 乘以

4

$4$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.13

将

i^{4}

$i^{4}$ 重写为

1

$1$ 。

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解题步骤 1.2.13.1

将

i^{4}

$i^{4}$ 重写为

{(i^{2})}^{2}

${(i^{2})}^{2}$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.13.2

将

i^{2}

$i^{2}$ 重写为

- 1

$- 1$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2} + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2} + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.2.13.3

对

- 1

$- 1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}$

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}$

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.3

从

1

$1$ 中减去

6

$6$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 5 + 4 i - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 5 + 4 i - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.4

将

- 5

$- 5$ 和

1

$1$ 相加。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 4 i - 4 i + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 4 i - 4 i + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.5

从

4 i

$4 i$ 中减去

4 i

$4 i$ 。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 0 + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 0 + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.6

将

- 4

$- 4$ 和

0

$0$ 相加。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + {(1 - i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + {(1 - i)}^{4}$

解题步骤 1.7

使用二项式定理。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1

一的任意次幂都为一。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 + 4 \cdot 1^{3} (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 + 4 \cdot 1^{3} (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.2

一的任意次幂都为一。

{(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 + 4 \cdot 1 (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 + 4 \cdot 1 (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.3

将

$4$ 乘以

$1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 + 4 (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.4

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.5

一的任意次幂都为一。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.6

将

$6$ 乘以

$1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.7

对

$- i$ 运用乘积法则。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.8

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 (1 i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.9

将

$i^{2}$ 乘以

$1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.10

将

$i^{2}$ 重写为

$- 1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.11

将

$6$ 乘以

$- 1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.12

将

$4$ 乘以

$1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.13

对

$- i$ 运用乘积法则。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.14

对

$- 1$ 进行

$3$ 次方运算。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (- i^{3}) + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.15

因式分解出

$i^{2}$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.16

将

$i^{2}$ 重写为

$- 1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.17

将

$- 1 i$ 重写为

$- i$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (- - i) + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.18

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (1 i) + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.19

将

$i$ 乘以

$1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + {(- i)}^{4}$

解题步骤 1.8.20

对

$- i$ 运用乘积法则。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + {(- 1)}^{4} i^{4}$

解题步骤 1.8.21

对

$- 1$ 进行

$4$ 次方运算。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + 1 i^{4}$

解题步骤 1.8.22

将

$i^{4}$ 乘以

$1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + i^{4}$

解题步骤 1.8.23

将

$i^{4}$ 重写为

$1$ 。

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解题步骤 1.8.23.1

将

$i^{4}$ 重写为

${(i^{2})}^{2}$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + {(i^{2})}^{2}$

解题步骤 1.8.23.2

将

$i^{2}$ 重写为

$- 1$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.8.23.3

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + 1$

解题步骤 1.9

从

$1$ 中减去

$6$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 - 5 - 4 i + 4 i + 1$

解题步骤 1.10

将

$- 5$ 和

$1$ 相加。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 - 4 - 4 i + 4 i$

解题步骤 1.11

将

$- 4 i$ 和

$4 i$ 相加。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 - 4 + 0$

解题步骤 1.12

将

$- 4$ 和

$0$ 相加。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 - 4$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

从

$- 4$ 中减去

$4$ 。

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 8$

解题步骤 2.2

将

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11}$ 和

$- 8$ 重新排序。

$- 8 + {(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11}$

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