基础数学示例

${(9 a^{2} + 4 b^{2} - 3 c^{2})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(9 a^{2} + 4 b^{2} - 3 c^{2})}^{2}$ 重写为 $(9 a^{2} + 4 b^{2} - 3 c^{2}) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 3 c^{2})$ 。

$(9 a^{2} + 4 b^{2} - 3 c^{2}) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 3 c^{2})$

解题步骤 2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(9 a^{2} + 4 b^{2} - 3 c^{2}) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 3 c^{2})$ 。

$9 a^{2} (9 a^{2}) + 9 a^{2} (4 b^{2}) + 9 a^{2} (- 3 c^{2}) + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 \cdot 9 a^{2} a^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + 9 a^{2} (- 3 c^{2}) + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $a^{2}$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

移动 $a^{2}$ 。

$9 \cdot 9 (a^{2} a^{2}) + 9 a^{2} (4 b^{2}) + 9 a^{2} (- 3 c^{2}) + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 \cdot 9 a^{2 + 2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + 9 a^{2} (- 3 c^{2}) + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$9 \cdot 9 a^{4} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + 9 a^{2} (- 3 c^{2}) + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.3

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$81 a^{4} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + 9 a^{2} (- 3 c^{2}) + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$81 a^{4} + 9 \cdot 4 a^{2} b^{2} + 9 a^{2} (- 3 c^{2}) + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.5

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 9 a^{2} (- 3 c^{2}) + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.6

使用乘法的交换性质重写。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 9 \cdot - 3 a^{2} c^{2} + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.7

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 4 b^{2} (9 a^{2}) + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.8

使用乘法的交换性质重写。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 4 \cdot 9 b^{2} a^{2} + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.9

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 4 b^{2} (4 b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.10

使用乘法的交换性质重写。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 4 \cdot 4 b^{2} b^{2} + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.11

通过指数相加将 $b^{2}$ 乘以 $b^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.1

移动 $b^{2}$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 4 \cdot 4 (b^{2} b^{2}) + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 4 \cdot 4 b^{2 + 2} + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.11.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 4 \cdot 4 b^{4} + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.12

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} + 4 b^{2} (- 3 c^{2}) - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.13

使用乘法的交换性质重写。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} + 4 \cdot - 3 b^{2} c^{2} - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.14

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 3 c^{2} (9 a^{2}) - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.15

使用乘法的交换性质重写。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 3 \cdot 9 c^{2} a^{2} - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.16

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 3 c^{2} (4 b^{2}) - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.17

使用乘法的交换性质重写。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 3 \cdot 4 c^{2} b^{2} - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.18

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 12 c^{2} b^{2} - 3 c^{2} (- 3 c^{2})$

解题步骤 3.19

使用乘法的交换性质重写。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 12 c^{2} b^{2} - 3 \cdot - 3 c^{2} c^{2}$

解题步骤 3.20

通过指数相加将 $c^{2}$ 乘以 $c^{2}$ 。

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解题步骤 3.20.1

移动 $c^{2}$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 12 c^{2} b^{2} - 3 \cdot - 3 (c^{2} c^{2})$

解题步骤 3.20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 12 c^{2} b^{2} - 3 \cdot - 3 c^{2 + 2}$

解题步骤 3.20.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 12 c^{2} b^{2} - 3 \cdot - 3 c^{4}$

解题步骤 3.21

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 36 b^{2} a^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 12 c^{2} b^{2} + 9 c^{4}$

解题步骤 4

将 $36 a^{2} b^{2}$ 和 $36 b^{2} a^{2}$ 相加。

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解题步骤 4.1

移动 $b^{2}$ 。

$81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 36 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 12 c^{2} b^{2} + 9 c^{4}$

解题步骤 4.2

将 $36 a^{2} b^{2}$ 和 $36 a^{2} b^{2}$ 相加。

$81 a^{4} + 72 a^{2} b^{2} - 27 a^{2} c^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 c^{2} a^{2} - 12 c^{2} b^{2} + 9 c^{4}$

解题步骤 5

从 $- 27 a^{2} c^{2}$ 中减去 $27 c^{2} a^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $c^{2}$ 。

$81 a^{4} + 72 a^{2} b^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 27 a^{2} c^{2} - 27 a^{2} c^{2} - 12 c^{2} b^{2} + 9 c^{4}$

解题步骤 5.2

从 $- 27 a^{2} c^{2}$ 中减去 $27 a^{2} c^{2}$ 。

$81 a^{4} + 72 a^{2} b^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 54 a^{2} c^{2} - 12 c^{2} b^{2} + 9 c^{4}$

解题步骤 6

从 $- 12 b^{2} c^{2}$ 中减去 $12 c^{2} b^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $c^{2}$ 。

$81 a^{4} + 72 a^{2} b^{2} + 16 b^{4} - 12 b^{2} c^{2} - 12 b^{2} c^{2} - 54 a^{2} c^{2} + 9 c^{4}$

解题步骤 6.2

从 $- 12 b^{2} c^{2}$ 中减去 $12 b^{2} c^{2}$ 。

$81 a^{4} + 72 a^{2} b^{2} + 16 b^{4} - 24 b^{2} c^{2} - 54 a^{2} c^{2} + 9 c^{4}$

解题步骤 7

移动 $- 24 b^{2} c^{2}$ 。

$81 a^{4} + 72 a^{2} b^{2} + 16 b^{4} - 54 a^{2} c^{2} - 24 b^{2} c^{2} + 9 c^{4}$

解题步骤 8

移动 $16 b^{4}$ 。

$81 a^{4} + 72 a^{2} b^{2} - 54 a^{2} c^{2} + 16 b^{4} - 24 b^{2} c^{2} + 9 c^{4}$

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