基础数学示例

$(9, - 2)$ , $(- 5, - 6)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot - 5 - 2 \cdot - 6$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $9$ 乘以 $- 5$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 - 2 \cdot - 6$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 + 12$

解题步骤 2.2.2

将 $- 45$ 和 $12$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 33$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{81 + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 4}$

解题步骤 3.2.3

将 $81$ 和 $4$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{85}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 6)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 36}$

解题步骤 4.2.3

将 $25$ 和 $36$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{61}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85} \sqrt{61}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85 \cdot 61}})$

解题步骤 6.1.2

将 $85$ 乘以 $61$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{5185}})$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$θ = \arccos (- \frac{33}{\sqrt{5185}})$

解题步骤 6.3

将 $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ 。

$θ = \arccos (- (\frac{33}{\sqrt{5185}} \cdot \frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}))$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{\sqrt{5185} \sqrt{5185}})$

解题步骤 6.4.2

对 $\sqrt{5185}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} \sqrt{5185}})$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{5185}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} {\sqrt{5185}}^{1}})$

解题步骤 6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{2}})$

解题步骤 6.4.6

将 ${\sqrt{5185}}^{2}$ 重写为 $5185$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5185}$ 重写成 $5185^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{(5185^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{1}})$

解题步骤 6.4.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$

解题步骤 6.5

计算 $\arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$ 。

$θ = 117.27676338$

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