基础数学示例

$\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{a + 6}}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{a + 6}$ 重写成 ${(a + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(a + 6)}^{1} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$a + 6 = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ 。

$a + 6 = (\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$a + 6 = \sqrt{2 a} (\sqrt{2 a} - 1) - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

乘以 $\sqrt{2 a} \sqrt{2 a}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1.1

对 $\sqrt{2 a}$ 进行 $1$ 次方运算。

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.2

对 $\sqrt{2 a}$ 进行 $1$ 次方运算。

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1 + 1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 ${\sqrt{2 a}}^{2}$ 重写为 $2 a$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 a}$ 重写成 ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$a + 6 = {({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.4.1

约去公因数。

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.4.2

重写表达式。

$a + 6 = {(2 a)}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.5

化简。

$a + 6 = 2 a + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{2 a}$ 的左侧。

$a + 6 = 2 a - 1 \cdot \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

将 $- 1 \sqrt{2 a}$ 重写为 $- \sqrt{2 a}$ 。

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

将 $- 1 \sqrt{2 a}$ 重写为 $- \sqrt{2 a}$ 。

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} + 1$

解题步骤 2.3.1.3.2

从 $- \sqrt{2 a}$ 中减去 $\sqrt{2 a}$ 。

$a + 6 = 2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1$

解题步骤 3

求解 $- 2 \sqrt{2 a}$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$ 。

$2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $- 2 \sqrt{2 a}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $2 a$ 。

$- 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6 - 2 a$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sqrt{2 a} = a + 6 - 2 a - 1$

解题步骤 3.2.3

从 $a$ 中减去 $2 a$ 。

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 6 - 1$

解题步骤 3.2.4

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 5$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 2 \sqrt{2 a})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 a}$ 重写成 ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $2 a$ 运用乘积法则。

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

乘以 $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

提取负因数。

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.2

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.5

在公分母上合并分子。

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

${(- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1.3.1

对 $- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2

对 $- 2^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

将 ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6

将 ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.2.1

约去公因数。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6.2.2

重写表达式。

$2^{3} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.8

将 ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.8.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.8.2.1

约去公因数。

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.8.2.2

重写表达式。

$8 a^{1} = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.9

化简。

$8 a = {(- a + 5)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(- a + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(- a + 5)}^{2}$ 重写为 $(- a + 5) (- a + 5)$ 。

$8 a = (- a + 5) (- a + 5)$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- a + 5) (- a + 5)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$8 a = - a (- a + 5) + 5 (- a + 5)$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a + 5)$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$8 a = - 1 \cdot - 1 a \cdot a - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.2.1

移动 $a$ 。

$8 a = - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$8 a = - 1 \cdot - 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 a = 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

将 $a^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 a = a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$8 a = a^{2} - 5 a + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.7

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

解题步骤 5.3.1.3.2

从 $- 5 a$ 中减去 $5 a$ 。

$8 a = a^{2} - 10 a + 25$

解题步骤 6

求解 $a$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $a$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$a^{2} - 10 a + 25 = 8 a$

解题步骤 6.2

将所有包含 $a$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $8 a$ 。

$a^{2} - 10 a + 25 - 8 a = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $- 10 a$ 中减去 $8 a$ 。

$a^{2} - 18 a + 25 = 0$

解题步骤 6.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 18$ 和 $c = 25$ 的值代入二次公式中并求解 $a$ 。

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.5.1.1

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 。

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解题步骤 6.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.3

从 $324$ 中减去 $100$ 。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{224}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.4

将 $224$ 重写为 $4^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 6.5.1.4.1

从 $224$ 中分解出因数 $16$ 。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{16 (14)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$a = \frac{18 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.5

从根式下提出各项。

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 6.5.3

化简 $\frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$ 。

$a = 9 \pm 2 \sqrt{14}$

解题步骤 6.6

最终答案为两个解的组合。

$a = 9 + 2 \sqrt{14}, 9 - 2 \sqrt{14}$

解题步骤 7

排除不能使 $\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$ 成立的解。

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

小数形式：

$a = 16.48331477 \dots$

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