基础数学示例

$2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 40, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5, \pm 2.5, \pm 8$

解题步骤 1.3

代入 $- 0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 0.5$ 代入多项式。

$2 {(- 0.5)}^{4} - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.2

对 $- 0.5$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 \cdot 0.0625 - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $0.0625$ 。

$0.125 - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.4

对 $- 0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.125 - 7 \cdot - 0.125 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.5

将 $- 7$ 乘以 $- 0.125$ 。

$0.125 + 0.875 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.6

将 $0.125$ 和 $0.875$ 相加。

$1 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.7

对 $- 0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 78 \cdot 0.25 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.8

将 $- 78$ 乘以 $0.25$ 。

$1 - 19.5 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.9

从 $1$ 中减去 $19.5$ 。

$- 18.5 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

解题步骤 1.3.10

将 $43$ 乘以 $- 0.5$ 。

$- 18.5 - 21.5 + 40$

解题步骤 1.3.11

从 $- 18.5$ 中减去 $21.5$ 。

$- 40 + 40$

解题步骤 1.3.12

将 $- 40$ 和 $40$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $- 0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 q + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40}{2 q + 1}$

解题步骤 1.5

用 $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ 除以 $2 q + 1$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 q^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $2 q$ 。

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 q^{4} + q^{3}$ 中的所有符号

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 8 q^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 q$ 。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$q^{3}$	-	$4 q^{2}$
$2 q$	+	$1$		$2 q^{4}$	-	$7 q^{3}$	-	$78 q^{2}$	+	$43 q$	+	$40$
			-	$2 q^{4}$	-	$q^{3}$
					-	$8 q^{3}$	-	$78 q^{2}$
					-	$8 q^{3}$	-	$4 q^{2}$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 q^{3} - 4 q^{2}$ 中的所有符号

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 74 q^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 q$ 。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 74 q^{2} - 37 q$ 中的所有符号

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

解题步骤 1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

解题步骤 1.5.17

将被除数中的最高阶项 $80 q$ 除以除数中的最高阶项 $2 q$ 。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

解题步骤 1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

解题步骤 1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $80 q + 40$ 中的所有符号

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

解题步骤 1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

$0$

解题步骤 1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$

解题步骤 1.6

将 $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ 书写为因数的集合。

$(2 q + 1) (q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40)$

解题步骤 2

使用有理根检验法因式分解 $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ 。

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解题步骤 2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

解题步骤 2.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 37 \cdot 1 + 40$

解题步骤 2.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 37 \cdot 1 + 40$

解题步骤 2.3.3

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 4 \cdot 1 - 37 \cdot 1 + 40$

解题步骤 2.3.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$1 - 4 - 37 \cdot 1 + 40$

解题步骤 2.3.5

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 3 - 37 \cdot 1 + 40$

解题步骤 2.3.6

将 $- 37$ 乘以 $1$ 。

$- 3 - 37 + 40$

解题步骤 2.3.7

从 $- 3$ 中减去 $37$ 。

$- 40 + 40$

解题步骤 2.3.8

将 $- 40$ 和 $40$ 相加。

$0$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $q - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40}{q - 1}$

解题步骤 2.5

用 $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ 除以 $q - 1$ 。

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解题步骤 2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$q$

$1$

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

解题步骤 2.5.2

将被除数中的最高阶项 $q^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $q$ 。

					$q^{2}$
	$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$

解题步骤 2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			+	$q^{3}$	-	$q^{2}$

解题步骤 2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $q^{3} - q^{2}$ 中的所有符号

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$

解题步骤 2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$

解题步骤 2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$

解题步骤 2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 3 q^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $q$ 。

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$

解题步骤 2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					-	$3 q^{2}$	+	$3 q$

解题步骤 2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 q^{2} + 3 q$ 中的所有符号

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$

解题步骤 2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$

解题步骤 2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$

解题步骤 2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 40 q$ 除以除数中的最高阶项 $q$ 。

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$

解题步骤 2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							-	$40 q$	+	$40$

解题步骤 2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 40 q + 40$ 中的所有符号

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							+	$40 q$	-	$40$

解题步骤 2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							+	$40 q$	-	$40$
										$0$

解题步骤 2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$q^{2} - 3 q - 40$

解题步骤 2.6

将 $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ 书写为因数的集合。

$(2 q + 1) ((q - 1) (q^{2} - 3 q - 40))$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $q^{2} - 3 q - 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

使用 AC 法来对 $q^{2} - 3 q - 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

使用 AC 法来对 $q^{2} - 3 q - 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 40$ ，和为 $- 3$ 。

$- 8, 5$

解题步骤 3.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(2 q + 1) ((q - 1) ((q - 8) (q + 5)))$

解题步骤 3.1.2

去掉多余的括号。

$(2 q + 1) ((q - 1) (q - 8) (q + 5))$

解题步骤 3.2

去掉多余的括号。

$(2 q + 1) (q - 1) (q - 8) (q + 5)$

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