基础数学示例

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} = a + b \sqrt{7}$

解题步骤 1

将方程重写为 $a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

解题步骤 2

化简 $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

解题步骤 2.2

合并分数。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}$

解题步骤 2.2.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} + \sqrt{77} - \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

解题步骤 2.3

化简分子。

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解题步骤 2.3.1

对 $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

解题步骤 2.3.2

对 $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1}}{4}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

解题步骤 2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}}{4}$

解题步骤 2.4

将 ${(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

解题步骤 2.5

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

解题步骤 2.5.3

运用分配律。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.2

将 $11$ 乘以 $11$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.3

将 $121$ 重写为 $11^{2}$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.6

将 $11$ 乘以 $7$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.7

使用根数乘积法则进行合并。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.8

将 $7$ 乘以 $11$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.9

使用根数乘积法则进行合并。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 7}}{4}$

解题步骤 2.6.1.10

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{49}}{4}$

解题步骤 2.6.1.11

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7^{2}}}{4}$

解题步骤 2.6.1.12

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + 7}{4}$

解题步骤 2.6.2

将 $11$ 和 $7$ 相加。

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + \sqrt{77} + \sqrt{77}}{4}$

解题步骤 2.6.3

将 $\sqrt{77}$ 和 $\sqrt{77}$ 相加。

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + 2 \sqrt{77}}{4}$

解题步骤 2.7

约去 $18 + 2 \sqrt{77}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 \sqrt{77}}{4}$

解题步骤 2.7.2

从 $2 \sqrt{77}$ 中分解出因数 $2$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})}{4}$

解题步骤 2.7.3

从 $2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})$ 中分解出因数 $2$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{4}$

解题步骤 2.7.4

约去公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 (2)}$

解题步骤 2.7.4.2

约去公因数。

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.7.4.3

重写表达式。

$a + b \sqrt{7} = \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $b \sqrt{7}$ 。

$a = \frac{9 + \sqrt{77}}{2} - b \sqrt{7}$

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