基础数学示例

$\sin (\frac{π}{2} + x) = - \tan (x)$

解题步骤 1

使用正弦的和公式化简该表达式。该公式表述为 $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ 。

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x) = - \tan (x)$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$1 \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x) = - \tan (x)$

解题步骤 2.1.1.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x) = - \tan (x)$

解题步骤 2.1.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\cos (x) + 0 \sin (x) = - \tan (x)$

解题步骤 2.1.1.4

将 $0$ 乘以 $\sin (x)$ 。

$\cos (x) + 0 = - \tan (x)$

解题步骤 2.1.2

将 $\cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) = - \tan (x)$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \cos (x) = \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) = \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) = \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 6

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) = - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos^{2} (x) = \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\cos^{2} (x) = \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\cos^{2} (x) = - \sin (x)$

解题步骤 8

在等式两边都加上 $\sin (x)$ 。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 9

使用 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$(1 - \sin^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

解题步骤 10

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

解题步骤 10.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 10.3

将 $a = - 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

化简分子。

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解题步骤 10.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 10.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4.1.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 10.4.3

化简 $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10.5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10.6

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10.7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10.8

在 $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.8.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 10.9

在 $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 10.9.2

化简右边。

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解题步骤 10.9.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ 。

$x = - 0.66623943$

解题步骤 10.9.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.66623943$

解题步骤 10.9.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.9.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.66623943$

解题步骤 10.9.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.66623943$

解题步骤 10.9.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.66623943$ 相加。

$x = 3.80783208$

解题步骤 10.9.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.9.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 10.9.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.66623943$ 以求正角。

$- 0.66623943 + 2 π$

解题步骤 10.9.6.2

从 $2 π$ 中减去 $0.66623943$ 。

$5.61694587$

解题步骤 10.9.6.3

列出新角。

$x = 5.61694587$

解题步骤 10.9.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.10

列出所有解。

$x = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

基础数学 示例

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