基础数学示例

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

解题步骤 1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

解题步骤 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

求 $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ 的最小公倍数的步骤：

1. 求数值部分 $1, 1, 1$ 的最小公倍数 (LCM)。

2. 求变量部分 $a^{2}$ 的最小公倍数 (LCM)。

3. 求复变量部分 $a + 5, a - 5$ 的最小公倍数 (LCM)。

4. 把每个最小公倍数 (LCM) 相乘。

解题步骤 2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.5

$1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 2.6

$a^{2}$ 的因数为 $a \cdot a$ ，即 $a$ 连续相乘 $2$ 次。

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ 出现了 $2$ 次。

解题步骤 2.7

$a^{2}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$a \cdot a$

解题步骤 2.8

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a^{2}$

解题步骤 2.9

$a + 5$ 的因式是 $a + 5$ 本身。

$(a + 5) = a + 5$

$(a + 5)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.10

$a - 5$ 的因式是 $a - 5$ 本身。

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.11

$a + 5, a - 5$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(a + 5) (a - 5)$

解题步骤 2.12

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

解题步骤 3

将 $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ 中的每一项乘以 $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ 中的每一项乘以 $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 。

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $a^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

从 $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 中分解出因数 $a^{2}$ 。

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.1.3

重写表达式。

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(a + 5) (a - 5)$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

运用分配律。

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.2.2

运用分配律。

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.2.3

运用分配律。

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.3

合并 $a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.1.3.1

按照 $a \cdot - 5$ 和 $5 a$ 重新排列因数。

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $- 5 a$ 和 $5 a$ 相加。

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.3.3

将 $a \cdot a$ 和 $0$ 相加。

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.4.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.5

运用分配律。

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.6

将 $9$ 乘以 $- 25$ 。

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.7

约去 $(a + 5) (a - 5)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.7.1

从 $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 中分解出因数 $(a + 5) (a - 5)$ 。

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.7.2

约去公因数。

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.1.7.3

重写表达式。

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.2.2

将 $9 a^{2}$ 和 $16 a^{2}$ 相加。

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将 $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 乘以 $1$ 。

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

解题步骤 3.3.3

通过指数相加将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

解题步骤 3.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

解题步骤 3.3.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

解题步骤 3.3.4

将 $5$ 移到 $a^{2}$ 的左侧。

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

解题步骤 3.3.5

使用 FOIL 方法展开 $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

运用分配律。

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

解题步骤 3.3.5.2

运用分配律。

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

解题步骤 3.3.5.3

运用分配律。

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.6.1.1

通过指数相加将 $a^{3}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.1.1

将 $a^{3}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.1.1.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6.1.1.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6.1.2

将 $- 5$ 移到 $a^{3}$ 的左侧。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6.1.3

通过指数相加将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.3.1

移动 $a$ 。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6.1.3.2

将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.3.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.3.6.1.4

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $- 5 a^{3}$ 和 $5 a^{3}$ 相加。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

解题步骤 3.3.6.3

将 $a^{4}$ 和 $0$ 相加。

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

因为 $a$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

解题步骤 4.2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $25 a^{2}$ 。

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $225$ 。

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

解题步骤 4.3

从 $- 25 a^{2}$ 中减去 $25 a^{2}$ 。

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

解题步骤 4.4

将 $u = a^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

解题步骤 4.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 50 u + 225$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $225$ ，和为 $- 50$ 。

$- 45, - 5$

解题步骤 4.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 45) (u - 5) = 0$

解题步骤 4.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

解题步骤 4.7

将 $u - 45$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $u - 45$ 设为等于 $0$ 。

$u - 45 = 0$

解题步骤 4.7.2

在等式两边都加上 $45$ 。

$u = 45$

解题步骤 4.8

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.8.1

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 。

$u - 5 = 0$

解题步骤 4.8.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$u = 5$

解题步骤 4.9

最终解为使 $(u - 45) (u - 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = 45, 5$

解题步骤 4.10

将 $u = a^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

解题步骤 4.11

求解 $a$ 的第一个方程。

$a^{2} = 45$

解题步骤 4.12

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

解题步骤 4.12.2

化简 $\pm \sqrt{45}$ 。

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解题步骤 4.12.2.1

将 $45$ 重写为 $3^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.12.2.1.1

从 $45$ 中分解出因数 $9$ 。

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

解题步骤 4.12.2.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

解题步骤 4.12.2.2

从根式下提出各项。

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.12.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.12.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$a = 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.12.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$a = - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.12.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.13

求解 $a$ 的第二个方程。

${(a^{2})}^{1} = 5$

解题步骤 4.14

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 4.14.1

去掉圆括号。

$a^{2} = 5$

解题步骤 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

解题步骤 4.14.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.14.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$a = \sqrt{5}$

解题步骤 4.14.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$a = - \sqrt{5}$

解题步骤 4.14.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 4.15

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ 的解是 $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ 。

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

小数形式：

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$

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