基础数学示例

$- \frac{1}{27} = r^{3}$

解题步骤 1

将方程重写为 $r^{3} = - \frac{1}{27}$ 。

$r^{3} = - \frac{1}{27}$

解题步骤 2

在等式两边都加上 $\frac{1}{27}$ 。

$r^{3} + \frac{1}{27} = 0$

解题步骤 3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$r^{3} + \frac{1^{3}}{27} = 0$

解题步骤 3.2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$r^{3} + \frac{1^{3}}{3^{3}} = 0$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{3}$ 。

$r^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

解题步骤 3.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = r$ 和 $b = \frac{1}{3}$ 。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - r \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $r$ 。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

解题步骤 3.5.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

解题步骤 3.5.3

一的任意次幂都为一。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

解题步骤 3.5.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$r + \frac{1}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

解题步骤 5

将 $r + \frac{1}{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 5.1

将 $r + \frac{1}{3}$ 设为等于 $0$ 。

$r + \frac{1}{3} = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{3}$ 。

$r = - \frac{1}{3}$

解题步骤 6

将 $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 6.1

将 $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ 设为等于 $0$ 。

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $r$ 的 $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

全部乘以最小公分母 $9$ ，然后化简。

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解题步骤 6.2.1.1

运用分配律。

$9 r^{2} + 9 (- \frac{r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 6.2.1.2

化简。

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解题步骤 6.2.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.2.1.1

将 $- \frac{r}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$9 r^{2} + 9 (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 6.2.1.2.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$9 r^{2} + 3 (3) (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 6.2.1.2.1.3

约去公因数。

$9 r^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- r}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 6.2.1.2.1.4

重写表达式。

$9 r^{2} + 3 (- r) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 6.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 6.2.1.2.3

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.2.3.1

约去公因数。

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 6.2.1.2.3.2

重写表达式。

$9 r^{2} - 3 r + 1 = 0$

解题步骤 6.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.2.3

将 $a = 9$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $r$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4

化简。

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解题步骤 6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $36$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.2.4.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

解题步骤 6.2.4.3

化简 $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ 。

$r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为两个解的组合。

$r = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 7

最终解为使 $(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ 成立的所有值。

$r = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

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