基础数学示例

$\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

解题步骤 1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

解题步骤 1.2

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

解题步骤 1.3

要将 $\frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

解题步骤 1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $45$ 的形式。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{9}{5 \cdot 9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

解题步骤 1.4.2

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$\frac{9}{45} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{9 + 1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

解题步骤 1.6

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$45, (4 n - 3) \cdot (4 n + 1), 4 n + 1$

解题步骤 2.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.3

$45$ 的质因数是 $3 \cdot 3 \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.3.1

$45$ 具有因式 $3$ 和 $15$ 。

$3 \cdot 15$

解题步骤 2.3.2

$15$ 具有因式 $3$ 和 $5$ 。

$3 \cdot 3 \cdot 5$

解题步骤 2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.5

$45, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$3 \cdot 3 \cdot 5$

解题步骤 2.6

乘以 $3 \cdot 3 \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 \cdot 5$

解题步骤 2.6.2

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$45$

解题步骤 2.7

$4 n - 3$ 的因式是 $4 n - 3$ 本身。

$(4 n - 3) = 4 n - 3$

$(4 n - 3)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.8

$4 n + 1$ 的因式是 $4 n + 1$ 本身。

$(4 n + 1) = 4 n + 1$

$(4 n + 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.9

$4 n - 3, 4 n + 1, 4 n + 1$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(4 n - 3) (4 n + 1)$

解题步骤 2.10

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$45 (4 n - 3) (4 n + 1)$

解题步骤 3

将 $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ 中的每一项乘以 $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ 中的每一项乘以 $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ 。

$\frac{10}{45} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $45$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

从 $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ 中分解出因数 $45$ 。

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.1.3

重写表达式。

$10 ((4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 n - 3) (4 n + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

运用分配律。

$10 (4 n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.2.2

运用分配律。

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.2.3

运用分配律。

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$10 (4 \cdot 4 n \cdot n + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1.2.1

移动 $n$ 。

$10 (4 \cdot 4 (n \cdot n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.3.1.2.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$10 (4 \cdot 4 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$10 (16 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.3.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$10 (16 n^{2} + 4 n - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.3.1.5

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.3.1.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.3.2

从 $4 n$ 中减去 $12 n$ 。

$10 (16 n^{2} - 8 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.4

运用分配律。

$10 (16 n^{2}) + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.5

化简。

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解题步骤 3.2.1.5.1

将 $16$ 乘以 $10$ 。

$160 n^{2} + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.5.2

将 $- 8$ 乘以 $10$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.5.3

将 $10$ 乘以 $- 3$ 。

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.7

组合 $45$ 和 $\frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ 。

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.8

约去 $(4 n - 3) (4 n + 1)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.8.1

约去公因数。

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.1.8.2

重写表达式。

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.2.2

将 $- 30$ 和 $45$ 相加。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \frac{n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.3.1.2

组合 $45$ 和 $\frac{n}{4 n + 1}$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

解题步骤 3.3.1.3

约去 $4 n + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1

从 $(4 n - 3) (4 n + 1)$ 中分解出因数 $4 n + 1$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

解题步骤 3.3.1.3.2

约去公因数。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

解题步骤 3.3.1.3.3

重写表达式。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n - 3)$

解题步骤 3.3.1.4

运用分配律。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n) + 45 n \cdot - 3$

解题步骤 3.3.1.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n + 45 n \cdot - 3$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $45$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n - 135 n$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

移动 $n$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 (n \cdot n) - 135 n$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n^{2} - 135 n$

解题步骤 3.3.2.2

将 $45$ 乘以 $4$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 180 n^{2} - 135 n$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $n$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $180 n^{2}$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} = - 135 n$

解题步骤 4.1.2

在等式两边都加上 $135 n$ 。

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} + 135 n = 0$

解题步骤 4.1.3

从 $160 n^{2}$ 中减去 $180 n^{2}$ 。

$- 20 n^{2} - 80 n + 15 + 135 n = 0$

解题步骤 4.1.4

将 $- 80 n$ 和 $135 n$ 相加。

$- 20 n^{2} + 55 n + 15 = 0$

解题步骤 4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

从 $- 20 n^{2} + 55 n + 15$ 中分解出因数 $- 5$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $- 20 n^{2}$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$- 5 (4 n^{2}) + 55 n + 15 = 0$

解题步骤 4.2.1.2

从 $55 n$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) + 15 = 0$

解题步骤 4.2.1.3

从 $15$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 4.2.1.4

从 $- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n)$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 4.2.1.5

从 $- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 (- 3)$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

解题步骤 4.2.2

因数。

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解题步骤 4.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

从 $- 11 n$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

把 $- 11$ 重写为 $1$ 加 $- 12$

$- 5 (4 n^{2} + (1 - 12) n - 3) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

运用分配律。

$- 5 (4 n^{2} + 1 n - 12 n - 3) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.1.4

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$- 5 (4 n^{2} + n - 12 n - 3) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- 5 ((4 n^{2} + n) - 12 n - 3) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- 5 (n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $4 n + 1$ 来因式分解多项式。

$- 5 ((4 n + 1) (n - 3)) = 0$

解题步骤 4.2.2.2

去掉多余的括号。

$- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 n + 1 = 0$

$n - 3 = 0$

解题步骤 4.4

将 $4 n + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $n$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $4 n + 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 n + 1 = 0$

解题步骤 4.4.2

求解 $n$ 的 $4 n + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4 n = - 1$

解题步骤 4.4.2.2

将 $4 n = - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.4.2.2.1

将 $4 n = - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.4.2.2.2.1.2

用 $n$ 除以 $1$ 。

$n = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$n = - \frac{1}{4}$

解题步骤 4.5

将 $n - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $n$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $n - 3$ 设为等于 $0$ 。

$n - 3 = 0$

解题步骤 4.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$n = 3$

解题步骤 4.6

最终解为使 $- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$ 成立的所有值。

$n = - \frac{1}{4}, 3$

解题步骤 5

排除不能使 $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ 成立的解。

$n = 3$

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