基础数学示例

$\sqrt{7 y^{2} + 27 y} = \sqrt{3 y^{2} + 40}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{7 y^{2} + 27 y}}^{2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 y^{2} + 27 y}$ 重写成 ${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(7 y^{2} + 27 y)}^{1} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$7 y^{2} + 27 y = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

将 ${\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$ 重写为 $3 y^{2} + 40$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 y^{2} + 40}$ 重写成 ${(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 y^{2} + 27 y = {({(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

约去公因数。

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.4.2

重写表达式。

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{1}$

解题步骤 2.3.1.5

化简。

$7 y^{2} + 27 y = 3 y^{2} + 40$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $3 y^{2}$ 。

$7 y^{2} + 27 y - 3 y^{2} = 40$

解题步骤 3.1.2

从 $7 y^{2}$ 中减去 $3 y^{2}$ 。

$4 y^{2} + 27 y = 40$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $40$ 。

$4 y^{2} + 27 y - 40 = 0$

解题步骤 3.3

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 40 = - 160$ 并且它们的和为 $b = 27$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $27 y$ 中分解出因数 $27$ 。

$4 y^{2} + 27 (y) - 40 = 0$

解题步骤 3.3.1.2

把 $27$ 重写为 $- 5$ 加 $32$

$4 y^{2} + (- 5 + 32) y - 40 = 0$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$4 y^{2} - 5 y + 32 y - 40 = 0$

解题步骤 3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(4 y^{2} - 5 y) + 32 y - 40 = 0$

解题步骤 3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$y (4 y - 5) + 8 (4 y - 5) = 0$

解题步骤 3.3.3

通过因式分解出最大公因数 $4 y - 5$ 来因式分解多项式。

$(4 y - 5) (y + 8) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 y - 5 = 0$

$y + 8 = 0$

解题步骤 3.5

将 $4 y - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $4 y - 5$ 设为等于 $0$ 。

$4 y - 5 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $y$ 的 $4 y - 5 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$4 y = 5$

解题步骤 3.5.2.2

将 $4 y = 5$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $4 y = 5$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{5}{4}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{5}{4}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5}{4}$

解题步骤 3.6

将 $y + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $y + 8$ 设为等于 $0$ 。

$y + 8 = 0$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$y = - 8$

解题步骤 3.7

最终解为使 $(4 y - 5) (y + 8) = 0$ 成立的所有值。

$y = \frac{5}{4}, - 8$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$y = \frac{5}{4}, - 8$

小数形式：

$y = 1.25, - 8$

带分数形式：

$y = 1 \frac{1}{4}, - 8$

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