基础数学示例

$1000 = \frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} = 1000$ 。

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} = 1000$

解题步骤 2

两边同时乘以 $1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}$ 。

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

化简 $\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1.1.1.1

约去 $1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.1.1.2

重写表达式。

${(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.1.1.1.2.1

用 $0.1$ 除以 $12$ 。

${(1 + 0.008\overline{3})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.1.2.2

将 $1$ 和 $0.008\overline{3}$ 相加。

${1.008\overline{3}}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.1.2.3

对 $1.008\overline{3}$ 进行 $12$ 次方运算。

$1.10471306 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.2.1

用 $0.1$ 除以 $12$ 。

$1.10471306 (1 - {(1 + 0.008\overline{3})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.2.2

将 $1$ 和 $0.008\overline{3}$ 相加。

$1.10471306 (1 - {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.1.1.3.1

运用分配律。

$1.10471306 \cdot 1 + 1.10471306 (- {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.3.2

乘。

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解题步骤 3.1.1.3.2.1

将 $1.10471306$ 乘以 $1$ 。

$1.10471306 + 1.10471306 (- {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1.10471306$ 。

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.1

用 $0.1$ 除以 $12$ 。

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {(1 + 0.008\overline{3})}^{12})$

解题步骤 3.2.1.1.2

将 $1$ 和 $0.008\overline{3}$ 相加。

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {1.008\overline{3}}^{12})$

解题步骤 3.2.1.1.3

对 $1.008\overline{3}$ 进行 $12$ 次方运算。

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - 1 \cdot 1.10471306)$

解题步骤 3.2.1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1.10471306$ 。

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - 1.10471306)$

解题步骤 3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.2.1

从 $1$ 中减去 $1.10471306$ 。

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 \cdot - 0.10471306$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $1000$ 乘以 $- 0.10471306$ 。

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 104.71306744$

解题步骤 4

求解 $t$ 。

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解题步骤 4.1

将所有不包含 $t$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $1.10471306$ 。

$- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 104.71306744 - 1.10471306$

解题步骤 4.1.2

从 $- 104.71306744$ 中减去 $1.10471306$ 。

$- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$

解题步骤 4.2

将 $- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$ 中的每一项除以 $- 1.10471306$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$ 中的每一项都除以 $- 1.10471306$ 。

$\frac{- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t}}{- 1.10471306} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $- 1.10471306$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t}}{- 1.10471306} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 ${1.008\overline{3}}^{12 t}$ 除以 $1$ 。

${1.008\overline{3}}^{12 t} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

用 $- 105.8177805$ 除以 $- 1.10471306$ 。

${1.008\overline{3}}^{12 t} = 95.7875702$

解题步骤 4.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({1.008\overline{3}}^{12 t}) = \ln (95.7875702)$

解题步骤 4.4

通过将 $12 t$ 移到对数外来展开 $\ln ({1.008\overline{3}}^{12 t})$ 。

$12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$

解题步骤 4.5

将 $12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$ 中的每一项除以 $12 \ln (1.008\overline{3})$ 并化简。

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解题步骤 4.5.1

将 $12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$ 中的每一项都除以 $12 \ln (1.008\overline{3})$ 。

$\frac{12 t \ln (1.008\overline{3})}{12 \ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

解题步骤 4.5.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 t \ln (1.008\overline{3})}{12 \ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

解题步骤 4.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{t \ln (1.008\overline{3})}{\ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

解题步骤 4.5.2.2

约去 $\ln (1.008\overline{3})$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{t \ln (1.008\overline{3})}{\ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

解题步骤 4.5.2.2.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$t = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

小数形式：

$t = 45.81115524 \dots$

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