基础数学示例

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} + 3 y - 28}{y^{2} - 9}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $y^{2} + 3 y - 28$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 28$ ，和为 $3$ 。

$- 4, 7$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{y^{2} - 9}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{y^{2} - 3^{2}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ 并且它们的和为 $b = - 13$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $- 13 y$ 中分解出因数 $- 13$ 。

$\frac{4 y^{2} - 13 (y) + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 3.1.2

把 $- 13$ 重写为 $- 1$ 加 $- 12$

$\frac{4 y^{2} + (- 1 - 12) y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{4 y^{2} - 1 y - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(4 y^{2} - 1 y) - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{y (4 y - 1) - 3 (4 y - 1)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $4 y - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 4

分组因式分解。

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解题步骤 4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $- 5 y$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 (y) - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 4.1.2

把 $- 5$ 重写为 $3$ 加 $- 8$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + (3 - 8) y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + 3 y - 8 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y^{2} + 3 y) - 8 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{y (2 y + 3) - 4 (2 y + 3)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 4.3

通过因式分解出最大公因数 $2 y + 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 5

分组因式分解。

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解题步骤 5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ 并且它们的和为 $b = 9$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $9 y$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 (y) + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 5.1.2

把 $9$ 重写为 $3$ 加 $6$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + (3 + 6) y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 3 y + 6 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y^{2} + 3 y) + 6 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{y (2 y + 3) + 3 (2 y + 3)}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 5.3

通过因式分解出最大公因数 $2 y + 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 6

化简分母。

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解题步骤 6.1

将 $16 y^{2}$ 重写为 ${(4 y)}^{2}$ 。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{{(4 y)}^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 6.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{{(4 y)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 6.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4 y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y + 1) (4 y - 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

约去 $4 y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

从 $(4 y + 1) (4 y - 1)$ 中分解出因数 $4 y - 1$ 。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y - 1) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7.1.2

约去公因数。

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y - 1) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7.1.3

重写表达式。

$\frac{y - 3}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7.2

约去 $2 y + 3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{y - 3}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{y - 3}{y - 4} \cdot \frac{y + 3}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{y - 3}{y - 4}$ 乘以 $\frac{y + 3}{4 y + 1}$ 。

$\frac{(y - 3) (y + 3)}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7.4

约去 $(y + 3) (y - 3)$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

从 $(y - 3) (y + 3)$ 中分解出因数 $(y + 3) (y - 3)$ 。

$\frac{(y + 3) (y - 3) (1)}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7.4.2

约去公因数。

$\frac{(y + 3) (y - 3) \cdot 1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

解题步骤 7.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot ((y - 4) (y + 7))$

解题步骤 7.5

约去 $y - 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot ((y - 4) (y + 7))$

解题步骤 7.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{4 y + 1} \cdot (y + 7)$

解题步骤 7.6

将 $\frac{1}{4 y + 1}$ 乘以 $y + 7$ 。

$\frac{y + 7}{4 y + 1}$

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