基础数学示例

$\frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$

解题步骤 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

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解题步骤 1.1

将 $\frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$ 乘以 $\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)} \cdot \frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$

解题步骤 1.2

合并。

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1})}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 2

运用分配律。

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.1

约去 $a + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ 中分解出因数 $a + 1$ 。

$\frac{(a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{(a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.2

约去 $a - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ 中分解出因数 $a - 1$ 。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a - 1) ((a + 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a - 1) ((a + 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.3

约去 $a^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ 中分解出因数 $a^{2} - 1$ 。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a^{2} - 1) ((a + 1) (a - 1)) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a^{2} - 1) ((a + 1) (a - 1)) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

解题步骤 3.4

约去 $a + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{a + 1}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{- 1}{a + 1}}$

解题步骤 3.4.2

从 $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ 中分解出因数 $a + 1$ 。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{- 1}{a + 1}}$

解题步骤 3.4.3

约去公因数。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{- 1}{a + 1}}$

解题步骤 3.4.4

重写表达式。

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

从 $(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a$ 中分解出因数 $(a^{2} - 1) a$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $(a - 1) (a^{2} - 1) a$ 中分解出因数 $(a^{2} - 1) a$ 。

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.1.2

从 $(a + 1) (a^{2} - 1) a$ 中分解出因数 $(a^{2} - 1) a$ 。

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a^{2} - 1) a (a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.1.3

从 $(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a^{2} - 1) a (a + 1)$ 中分解出因数 $(a^{2} - 1) a$ 。

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(a^{2} - 1^{2}) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.4

将 $a$ 和 $a$ 相加。

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (2 a - 1 + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (2 a + 0)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.6

将 $2 a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(a + 1) (a - 1) a \cdot 2 a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.7

合并指数。

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解题步骤 4.7.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 (a^{1} a)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.7.2

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 (a^{1} a^{1})}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{1 + 1}}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 4.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

从 $(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1$ 中分解出因数 $a - 1$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $(a + 1) (a - 1) a$ 中分解出因数 $a - 1$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

解题步骤 5.1.2

从 $(a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1$ 中分解出因数 $a - 1$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) ((a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

解题步骤 5.1.3

从 $(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) ((a^{2} - 1) \cdot - 1)$ 中分解出因数 $a - 1$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a \cdot a + 1 a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

解题步骤 5.3

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + 1 a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

解题步骤 5.4

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + a^{2} \cdot - 1 - 1 \cdot - 1)}$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 移到 $a^{2}$ 的左侧。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - 1 \cdot a^{2} - 1 \cdot - 1)}$

解题步骤 5.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - 1 \cdot a^{2} + 1)}$

解题步骤 5.8

将 $- 1 a^{2}$ 重写为 $- a^{2}$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - a^{2} + 1)}$

解题步骤 5.9

从 $a^{2}$ 中减去 $a^{2}$ 。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 0 + 1)}$

解题步骤 5.10

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 1)}$

解题步骤 6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.1

约去 $a + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 1)}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\frac{(a - 1) \cdot 2 a^{2}}{a - 1}$

解题步骤 6.2

约去 $a - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{(a - 1) \cdot 2 a^{2}}{a - 1}$

解题步骤 6.2.2

用 $2 a^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 a^{2}$

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