基础数学示例

$(\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}) (\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (\frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n})$

解题步骤 1

将 $\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}$ 乘以 $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ 。

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{m}{n}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{m}{m}$ 。

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{n}{m}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $n m$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{m}{n}$ 乘以 $\frac{m}{m}$ 。

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{n}{m}$ 乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $n m$ 的因式。

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 m n \frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.5.2

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 m n \frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.5.5

将 $n \cdot n$ 重写为 $n^{2}$ 。

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n^{2}}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.5.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = m$ 和 $b = n$ 。

$\frac{2 m n \frac{(m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.6

合并指数。

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解题步骤 2.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ 。

$\frac{m n \frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.6.2

组合 $m$ 和 $\frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}$ 。

$\frac{n \frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.6.3

组合 $n$ 和 $\frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}$ 。

$\frac{\frac{n (m (2 ((m + n) (m - n))))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.7

去掉多余的括号。

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.8

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}$ 。

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解题步骤 2.8.1

约去公因数。

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.8.2

重写表达式。

$\frac{\frac{(m \cdot 2 (m + n)) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.9

约去 $m$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

约去公因数。

$\frac{\frac{m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.9.2

用 $(2 (m + n)) (m - n)$ 除以 $1$ 。

$\frac{(2 (m + n)) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.10

运用分配律。

$\frac{(2 m + 2 n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.11

使用 FOIL 方法展开 $(2 m + 2 n) (m - n)$ 。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$\frac{2 m (m - n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.11.2

运用分配律。

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.11.3

运用分配律。

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.12.1.1

通过指数相加将 $m$ 乘以 $m$ 。

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解题步骤 2.12.1.1.1

移动 $m$ 。

$\frac{2 (m \cdot m) + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.1.1.2

将 $m$ 乘以 $m$ 。

$\frac{2 m^{2} + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 m^{2} + 2 \cdot - 1 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n \cdot n}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.1.5

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 2.12.1.5.1

移动 $n$ 。

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 (n \cdot n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.1.5.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.2

将 $- 2 m n$ 和 $2 n m$ 相加。

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解题步骤 2.12.2.1

移动 $n$ 。

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 m n - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.2.2

将 $- 2 m n$ 和 $2 m n$ 相加。

$\frac{2 m^{2} + 0 - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.12.3

将 $2 m^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 m^{2} - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.13

从 $2 m^{2} - 2 n^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.13.1

从 $2 m^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (m^{2}) - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.13.2

从 $- 2 n^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.13.3

从 $2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (m^{2} - n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 2.14

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = m$ 和 $b = n$ 。

$\frac{2 (m + n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

约去 $m + n$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $2 (m + n) (m - n)$ 中分解出因数 $m + n$ 。

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{2 (m - n)}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

解题步骤 3.2

约去 $m - n$ 和 ${(m - n)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $2 (m - n)$ 中分解出因数 $m - n$ 。

$\frac{(m - n) \cdot 2}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 ${(m - n)}^{2}$ 中分解出因数 $m - n$ 。

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{m - n} (m^{2} + m n + n^{2})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{2}{m - n}$ 乘以 $m^{2} + m n + n^{2}$ 。

$\frac{2 (m^{2} + m n + n^{2})}{m - n}$

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