基础数学示例

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n})$

解题步骤 1

要将 $\frac{m + n}{m - n}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{m + n}{m + n}$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n})$

解题步骤 2

要将 $- \frac{m - n}{m + n}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{m - n}{m - n}$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(m - n) (m + n)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{m + n}{m - n}$ 乘以 $\frac{m + n}{m + n}$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

解题步骤 3.2

将 $\frac{m - n}{m + n}$ 乘以 $\frac{m - n}{m - n}$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

解题步骤 3.3

重新排序 $(m - n) (m + n)$ 的因式。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m + n) (m - n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n) (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

对 $m + n$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.2

对 $m + n$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} {(m + n)}^{1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1 + 1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.5

将 $(m - n) (m - n)$ 重写为 ${(m - n)}^{2}$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - {(m - n)}^{2}}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = m + n$ 和 $b = m - n$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n + m - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

将 $m$ 和 $m$ 相加。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + n - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.2

从 $n$ 中减去 $n$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + 0) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.3

将 $2 m$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.4

运用分配律。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m - - n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.5

乘以 $- - n$ 。

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解题步骤 5.7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + 1 n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.5.2

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.6

从 $m$ 中减去 $m$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + 0 + n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.7

将 $n$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.8

将 $n$ 和 $n$ 相加。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m \cdot 2 n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 5.7.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 6

将 $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ 乘以 $\frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$ 。

$\frac{(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (4 m n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

要将 $\frac{m}{n}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{m}{m}$ 。

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.2

要将 $- \frac{n}{m}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $n m$ 的形式。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{m}{n}$ 乘以 $\frac{m}{m}$ 。

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{n}{m}$ 乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.3.3

重新排序 $n m$ 的因式。

$\frac{(\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.5.2

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{m^{2} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.5.5

将 $n \cdot n$ 重写为 $n^{2}$ 。

$\frac{\frac{m^{2} - n^{2}}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.5.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = m$ 和 $b = n$ 。

$\frac{\frac{(m + n) (m - n)}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.6

合并指数。

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解题步骤 7.6.1

组合 $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ 和 $4$ 。

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n} m n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.6.2

组合 $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n}$ 和 $m$ 。

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n} n}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.6.3

组合 $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n}$ 和 $n$ 。

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.7

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}$ 。

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解题步骤 7.7.1

约去公因数。

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.7.2

重写表达式。

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.8

约去 $n$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.1

约去公因数。

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.8.2

用 $(m + n) (m - n) \cdot 4$ 除以 $1$ 。

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.9

使用 FOIL 方法展开 $(m + n) (m - n)$ 。

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解题步骤 7.9.1

运用分配律。

$\frac{(m (m - n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.9.2

运用分配律。

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.9.3

运用分配律。

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.10

合并 $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ 中相反的项。

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解题步骤 7.10.1

按照 $m (- n)$ 和 $n m$ 重新排列因数。

$\frac{(m \cdot m - m n + m n + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.10.2

将 $- m n$ 和 $m n$ 相加。

$\frac{(m \cdot m + 0 + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.10.3

将 $m \cdot m$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(m \cdot m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.11

化简每一项。

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解题步骤 7.11.1

将 $m$ 乘以 $m$ 。

$\frac{(m^{2} + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.11.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(m^{2} - n \cdot n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.11.3

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 7.11.3.1

移动 $n$ 。

$\frac{(m^{2} - (n \cdot n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.11.3.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$\frac{(m^{2} - n^{2}) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.12

运用分配律。

$\frac{m^{2} \cdot 4 - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.13

将 $4$ 移到 $m^{2}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot m^{2} - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.14

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 \cdot m^{2} - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.15

从 $4 m^{2} - 4 n^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 7.15.1

从 $4 m^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (m^{2}) - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.15.2

从 $- 4 n^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.15.3

从 $4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (m^{2} - n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 7.16

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = m$ 和 $b = n$ 。

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 8.1

约去 $m + n$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

解题步骤 8.1.2

重写表达式。

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

解题步骤 8.2

约去 $m - n$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

解题步骤 8.2.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4$

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