基础数学示例

$\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{16 y + 1}}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{16 y + 1}$ 重写成 ${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(16 y + 1)}^{1} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$16 y + 1 = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ 。

$16 y + 1 = (2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y} - 1) - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

乘以 $2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y})$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$16 y + 1 = 4 \sqrt{7 y} \sqrt{7 y} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.2

对 $\sqrt{7 y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.3

对 $\sqrt{7 y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} {\sqrt{7 y}}^{1}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 ${\sqrt{7 y}}^{2}$ 重写为 $7 y$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 y}$ 重写成 ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$16 y + 1 = 4 {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.4.1

约去公因数。

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.4.2

重写表达式。

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.5

化简。

$16 y + 1 = 4 (7 y) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$16 y + 1 = 28 y + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} + 1$

解题步骤 2.3.1.3.2

从 $- 2 \sqrt{7 y}$ 中减去 $2 \sqrt{7 y}$ 。

$16 y + 1 = 28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1$

解题步骤 3

求解 $- 4 \sqrt{7 y}$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$ 。

$28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $- 4 \sqrt{7 y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $28 y$ 。

$- 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1 - 28 y$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y + 1 - 28 y - 1$

解题步骤 3.2.3

合并 $16 y + 1 - 28 y - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y + 0$

解题步骤 3.2.3.2

将 $16 y - 28 y$ 和 $0$ 相加。

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y$

解题步骤 3.2.4

从 $16 y$ 中减去 $28 y$ 。

$- 4 \sqrt{7 y} = - 12 y$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 4 \sqrt{7 y})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 y}$ 重写成 ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $7 y$ 运用乘积法则。

${(- 4 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1.2.1

对 $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.2

对 $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 4)}^{2} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

将 ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.2.1

约去公因数。

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2

重写表达式。

$16 \cdot 7^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

计算指数。

$16 \cdot 7 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6

将 $16$ 乘以 $7$ 。

$112 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.7

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.7.2.1

约去公因数。

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.7.2.2

重写表达式。

$112 y^{1} = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.8

化简。

$112 y = {(- 12 y)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(- 12 y)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $- 12 y$ 运用乘积法则。

$112 y = {(- 12)}^{2} y^{2}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$112 y = 144 y^{2}$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $144 y^{2}$ 。

$112 y - 144 y^{2} = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

使 $u = y$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y$ 。

$112 u - 144 u^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $112 u - 144 u^{2}$ 中分解出因数 $16 u$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $112 u$ 中分解出因数 $16 u$ 。

$16 u (7) - 144 u^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 144 u^{2}$ 中分解出因数 $16 u$ 。

$16 u (7) + 16 u (- 9 u) = 0$

解题步骤 6.2.2.3

从 $16 u (7) + 16 u (- 9 u)$ 中分解出因数 $16 u$ 。

$16 u (7 - 9 u) = 0$

解题步骤 6.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$16 y (7 - 9 y) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y = 0$

$7 - 9 y = 0$

解题步骤 6.4

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 6.5

将 $7 - 9 y$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $7 - 9 y$ 设为等于 $0$ 。

$7 - 9 y = 0$

解题步骤 6.5.2

求解 $y$ 的 $7 - 9 y = 0$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$- 9 y = - 7$

解题步骤 6.5.2.2

将 $- 9 y = - 7$ 中的每一项除以 $- 9$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将 $- 9 y = - 7$ 中的每一项都除以 $- 9$ 。

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

解题步骤 6.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.2.1

约去 $- 9$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

解题步骤 6.5.2.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 7}{- 9}$

解题步骤 6.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$y = \frac{7}{9}$

解题步骤 6.6

最终解为使 $16 y (7 - 9 y) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, \frac{7}{9}$

解题步骤 7

排除不能使 $\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$ 成立的解。

$y = \frac{7}{9}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$y = \frac{7}{9}$

小数形式：

$y = 0.\overline{7}$

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