基础数学示例

$z^{4} + z^{3} + z^{2} + 3 z - 6 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$z^{3} + 3 z + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.2

从 $z^{3} + 3 z$ 中分解出因数 $z$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $z^{3}$ 中分解出因数 $z$ 。

$z \cdot z^{2} + 3 z + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $3 z$ 中分解出因数 $z$ 。

$z \cdot z^{2} + z \cdot 3 + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $z \cdot z^{2} + z \cdot 3$ 中分解出因数 $z$ 。

$z (z^{2} + 3) + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.3

将 $z^{4}$ 重写为 ${(z^{2})}^{2}$ 。

$z (z^{2} + 3) + {(z^{2})}^{2} + z^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.4

使 $u = z^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $z^{2}$ 。

$z (z^{2} + 3) + u^{2} + u - 6 = 0$

解题步骤 1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} + u - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$z (z^{2} + 3) + (u - 2) (u + 3) = 0$

解题步骤 1.6

使用 $z^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$z (z^{2} + 3) + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3) = 0$

解题步骤 1.7

从 $z (z^{2} + 3) + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3)$ 中分解出因数 $z^{2} + 3$ 。

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解题步骤 1.7.1

从 $z (z^{2} + 3)$ 中分解出因数 $z^{2} + 3$ 。

$(z^{2} + 3) z + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3) = 0$

解题步骤 1.7.2

从 $(z^{2} - 2) (z^{2} + 3)$ 中分解出因数 $z^{2} + 3$ 。

$(z^{2} + 3) z + (z^{2} + 3) (z^{2} - 2) = 0$

解题步骤 1.7.3

从 $(z^{2} + 3) z + (z^{2} + 3) (z^{2} - 2)$ 中分解出因数 $z^{2} + 3$ 。

$(z^{2} + 3) (z + z^{2} - 2) = 0$

解题步骤 1.8

使 $u = z$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $z$ 。

$(z^{2} + 3) (u + u^{2} - 2) = 0$

解题步骤 1.9

使用 AC 法来对 $u + u^{2} - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 1.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(z^{2} + 3) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

解题步骤 1.10

因数。

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解题步骤 1.10.1

使用 $z$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(z^{2} + 3) ((z - 1) (z + 2)) = 0$

解题步骤 1.10.2

去掉多余的括号。

$(z^{2} + 3) (z - 1) (z + 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$z^{2} + 3 = 0$

$z - 1 = 0$

$z + 2 = 0$

解题步骤 3

将 $z^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $z$ 。

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解题步骤 3.1

将 $z^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$z^{2} + 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $z$ 的 $z^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$z^{2} = - 3$

解题步骤 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$z = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$z = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$z = i \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$z = - i \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$z = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 4

将 $z - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $z$ 。

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解题步骤 4.1

将 $z - 1$ 设为等于 $0$ 。

$z - 1 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$z = 1$

解题步骤 5

将 $z + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $z$ 。

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解题步骤 5.1

将 $z + 2$ 设为等于 $0$ 。

$z + 2 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$z = - 2$

解题步骤 6

最终解为使 $(z^{2} + 3) (z - 1) (z + 2) = 0$ 成立的所有值。

$z = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, 1, - 2$

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