基础数学示例

$4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$

解题步骤 1

将 $u = z^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$4 u^{2} - 5 u + 9 = 0$

$u = z^{2}$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 4$ 、 $b = - 5$ 和 $c = 9$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $9$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3

从 $25$ 中减去 $144$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.4

将 $- 119$ 重写为 $- 1 (119)$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (119)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ 。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{8}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

解题步骤 6

将 $u = z^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

解题步骤 7

求解 $z$ 的第一个方程。

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

解题步骤 8

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$

解题步骤 8.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ 。

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解题步骤 8.2.1

将 $\sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.2.2.2

从根式下提出各项。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.3

将 $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.4.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 8.2.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 8.2.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 8.2.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.2.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.2.4.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.2.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.2.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.2.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.2.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.7.4.1

约去公因数。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.2.4.7.4.2

重写表达式。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 8.2.4.7.5

计算指数。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.5

使用根数乘积法则进行合并。

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 8.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$z = - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 8.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 9

求解 $z$ 的第二个方程。

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

解题步骤 10

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$z^{2} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

解题步骤 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$

解题步骤 10.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $\sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

解题步骤 10.3.2

化简分母。

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解题步骤 10.3.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 10.3.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.3.2.2

从根式下提出各项。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 10.3.3

将 $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 10.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 10.3.4.1

将 $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 10.3.4.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 10.3.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 10.3.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 10.3.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.3.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 10.3.4.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 10.3.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.3.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.3.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.4.7.4.1

约去公因数。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.4.7.4.2

重写表达式。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 10.3.4.7.5

计算指数。

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.3.5

使用根数乘积法则进行合并。

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 10.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 10.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 10.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$z = - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 10.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 11

$4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$ 的解是 $z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$ 。

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

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