基础数学示例

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$

解题步骤 1

将 $u = z^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$5 u^{2} + 16 u - 45 = 0$

$u = z^{2}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot - 45 = - 225$ 并且它们的和为 $b = 16$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $16 u$ 中分解出因数 $16$ 。

$5 u^{2} + 16 (u) - 45 = 0$

解题步骤 2.1.2

把 $16$ 重写为 $- 9$ 加 $25$

$5 u^{2} + (- 9 + 25) u - 45 = 0$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$5 u^{2} - 9 u + 25 u - 45 = 0$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(5 u^{2} - 9 u) + 25 u - 45 = 0$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (5 u - 9) + 5 (5 u - 9) = 0$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $5 u - 9$ 来因式分解多项式。

$(5 u - 9) (u + 5) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 u - 9 = 0$

$u + 5 = 0$

解题步骤 4

将 $5 u - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

将 $5 u - 9$ 设为等于 $0$ 。

$5 u - 9 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $u$ 的 $5 u - 9 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$5 u = 9$

解题步骤 4.2.2

将 $5 u = 9$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $5 u = 9$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{9}{5}$

解题步骤 5

将 $u + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将 $u + 5$ 设为等于 $0$ 。

$u + 5 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$u = - 5$

解题步骤 6

最终解为使 $(5 u - 9) (u + 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{9}{5}, - 5$

解题步骤 7

将 $u = z^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$z^{2} = \frac{9}{5}$

${(z^{2})}^{1} = - 5$

解题步骤 8

求解 $z$ 的第一个方程。

$z^{2} = \frac{9}{5}$

解题步骤 9

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{9}{5}}$

解题步骤 9.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{9}{5}}$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $\sqrt{\frac{9}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.2.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$z = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{3}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 9.2.4.1

将 $\frac{3}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.2.4.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.2.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 9.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 9.2.4.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 9.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.6.4.1

约去公因数。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.4.6.4.2

重写表达式。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 9.2.4.6.5

计算指数。

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$z = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 10

求解 $z$ 的第二个方程。

${(z^{2})}^{1} = - 5$

解题步骤 11

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$z^{2} = - 5$

解题步骤 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 5}$

解题步骤 11.3

化简 $\pm \sqrt{- 5}$ 。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$z = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

解题步骤 11.3.2

将 $\sqrt{- 1 (5)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 。

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 11.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$z = \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$z = i \sqrt{5}$

解题步骤 11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$z = - i \sqrt{5}$

解题步骤 11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$z = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

解题步骤 12

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$ 的解是 $z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ 。

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

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