基础数学示例

$y = \frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$ 。

$\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$

解题步骤 2

交叉相乘。

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解题步骤 2.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}}) = 4$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y \cdot \sqrt{4^{2} - z^{2}} = 4$

解题步骤 2.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = z$ 。

$y \sqrt{(4 + z) (4 - z)} = 4$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(y \sqrt{(4 + z) (4 - z)})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(4 + z) (4 - z)}$ 重写成 ${((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 + z) (4 - z)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

${(y {(4 (4 - z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2

运用分配律。

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.3

运用分配律。

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.2.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

${(y {(16 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

${(y {(16 - 4 z + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.1.3

将 $4$ 移到 $z$ 的左侧。

${(y {(16 - 4 z + 4 \cdot z + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z \cdot z)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1.5.1

移动 $z$ 。

${(y {(16 - 4 z + 4 z - (z \cdot z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.1.5.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 4 z$ 和 $4 z$ 相加。

${(y {(16 + 0 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

${(y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.3

对 $y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$y^{2} {({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.4

将 ${({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.2.1

约去公因数。

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.4.2.2

重写表达式。

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{1} = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.5

化简。

$y^{2} (16 - z^{2}) = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.6

运用分配律。

$y^{2} \cdot 16 + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.7

重新排序。

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解题步骤 4.2.1.7.1

将 $16$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$16 \cdot y^{2} + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

解题步骤 4.2.1.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 16$

解题步骤 5

求解 $z$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $16 y^{2}$ 。

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$

解题步骤 5.2

将 $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ 中的每一项除以 $- y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ 中的每一项都除以 $- y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2} z^{2}}{- y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $z^{2}$ 除以 $1$ 。

$z^{2} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

约去公因数。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

重写表达式。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

移动 $\frac{- 16}{- 1}$ 中分母的负号。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - 1 \cdot - 16$

解题步骤 5.2.3.1.3

将 $- 1 \cdot - 16$ 重写为 $- - 16$ 。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - - 16$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + 16$

解题步骤 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$

解题步骤 5.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $- \frac{16}{y^{2}} + 16$ 中分解出因数 $16$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

从 $- \frac{16}{y^{2}}$ 中分解出因数 $16$ 。

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16}$

解题步骤 5.4.1.2

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)$ 中分解出因数 $16$ 。

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1)}$

解题步骤 5.4.2

化简表达式。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1^{2})}$

解题步骤 5.4.2.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{y})}^{2}$ 。

$z = \pm \sqrt{16 (- {(\frac{1}{y})}^{2} + 1^{2})}$

解题步骤 5.4.2.3

将 $- {(\frac{1}{y})}^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$z = \pm \sqrt{16 (1^{2} - {(\frac{1}{y})}^{2})}$

解题步骤 5.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{1}{y}$ 。

$z = \pm \sqrt{16 (1 + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

解题步骤 5.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$z = \pm \sqrt{16 (\frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

解题步骤 5.4.5

在公分母上合并分子。

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (1 - \frac{1}{y})}$

解题步骤 5.4.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

解题步骤 5.4.7

在公分母上合并分子。

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} \frac{y - 1}{y}}$

解题步骤 5.4.8

合并指数。

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解题步骤 5.4.8.1

组合 $16$ 和 $\frac{y + 1}{y}$ 。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1)}{y} \cdot \frac{y - 1}{y}}$

解题步骤 5.4.8.2

将 $\frac{16 (y + 1)}{y}$ 乘以 $\frac{y - 1}{y}$ 。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y \cdot y}}$

解题步骤 5.4.8.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y}}$

解题步骤 5.4.8.4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y^{1}}}$

解题步骤 5.4.8.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1 + 1}}}$

解题步骤 5.4.8.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}}$

解题步骤 5.4.9

将 $\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}$ 重写为 ${(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))$ 。

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解题步骤 5.4.9.1

从 $16 (y + 1) (y - 1)$ 中因式分解出完全幂数 ${(2^{2})}^{2}$ 。

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2}}}$

解题步骤 5.4.9.2

从 $y^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $y^{2}$ 。

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 5.4.9.3

重新整理分数 $\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}$ 。

$z = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}$

解题步骤 5.4.10

从根式下提出各项。

$z = \pm \frac{2^{2}}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.4.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$z = \pm \frac{4}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.4.12

组合 $\frac{4}{y}$ 和 $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ 。

$z = \pm \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

解题步骤 5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

解题步骤 5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

解题步骤 5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

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