基础数学示例

$3^{1 - a} - 3^{a} = 2$

解题步骤 1

将 $3^{1 - a}$ 重写为 $3^{1} \cdot 3^{- a}$ 。

$3 \cdot 3^{- a} - 3^{a} = 2$

解题步骤 2

将 $3^{- a}$ 重写为乘方形式。

$3 \cdot {(3^{a})}^{- 1} - 3^{a} = 2$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $3^{a}$ 。

$3 \cdot u^{- 1} - u = 2$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 \cdot \frac{1}{u} - u = 2$

解题步骤 4.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{3}{u} - u = 2$

解题步骤 5

将 $\frac{3}{u}$ 和 $- u$ 重新排序。

$- u + \frac{3}{u} = 2$

解题步骤 6

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 6.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 6.2

将 $- u + \frac{3}{u} = 2$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 6.2.1

将 $- u + \frac{3}{u} = 2$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$- u \cdot u + \frac{3}{u} u = 2 u$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

移动 $u$ 。

$- (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 2 u$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

解题步骤 6.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

约去公因数。

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

重写表达式。

$- u^{2} + 3 = 2 u$

解题步骤 6.3

求解方程。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $2 u$ 。

$- u^{2} + 3 - 2 u = 0$

解题步骤 6.3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $- u^{2} + 3 - 2 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

移动 $3$ 。

$- u^{2} - 2 u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.1.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) - 2 u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.1.3

从 $- 2 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) - (2 u) + 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.1.4

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$- (u^{2}) - (2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.1.5

从 $- (u^{2}) - (2 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.1.6

从 $- (u^{2} + 2 u) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} + 2 u - 3) = 0$

解题步骤 6.3.2.2

因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

使用 AC 法来对 $u^{2} + 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((u - 1) (u + 3)) = 0$

解题步骤 6.3.2.2.2

去掉多余的括号。

$- (u - 1) (u + 3) = 0$

解题步骤 6.3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.4

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 6.3.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 6.3.5

将 $u + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.5.1

将 $u + 3$ 设为等于 $0$ 。

$u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$u = - 3$

解题步骤 6.3.6

最终解为使 $- (u - 1) (u + 3) = 0$ 成立的所有值。

$u = 1, - 3$

解题步骤 7

代入 $1$ 替换 $u = 3^{a}$ 中的 $u$ 。

$1 = 3^{a}$

解题步骤 8

求解 $1 = 3^{a}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $3^{a} = 1$ 。

$3^{a} = 1$

解题步骤 8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{a}) = \ln (1)$

解题步骤 8.3

通过将 $a$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{a})$ 。

$a \ln (3) = \ln (1)$

解题步骤 8.4

化简右边。

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解题步骤 8.4.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$a \ln (3) = 0$

解题步骤 8.5

将 $a \ln (3) = 0$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 8.5.1

将 $a \ln (3) = 0$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 8.5.2

化简左边。

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解题步骤 8.5.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 8.5.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 8.5.3

化简右边。

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解题步骤 8.5.3.1

用 $0$ 除以 $\ln (3)$ 。

$a = 0$

解题步骤 9

代入 $- 3$ 替换 $u = 3^{a}$ 中的 $u$ 。

$- 3 = 3^{a}$

解题步骤 10

求解 $- 3 = 3^{a}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $3^{a} = - 3$ 。

$3^{a} = - 3$

解题步骤 10.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{a}) = \ln (- 3)$

解题步骤 10.3

因为 $\ln (- 3)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 10.4

$3^{a} = - 3$ 无解

无解

解题步骤 11

列出使方程成立的解。

$a = 0$

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