基础数学示例

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

解题步骤 1

化简 $\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ 。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $k^{2} + 3 k - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = k$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

解题步骤 1.3

化简分母。

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解题步骤 1.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

解题步骤 1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = k$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

解题步骤 1.4

化简项。

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解题步骤 1.4.1

约去 $k - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $(k + 1) (k - 1)$ 中分解出因数 $k - 1$ 。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

解题步骤 1.4.1.2

约去公因数。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

解题步骤 1.4.1.3

重写表达式。

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

解题步骤 1.4.2

约去 $k - 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $(k + 4) (k - 4)$ 中分解出因数 $k - 4$ 。

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

对 $k + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

解题步骤 1.5.2

对 $k + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

解题步骤 1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

解题步骤 1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$k + 1, 1$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$k + 1, 1$

解题步骤 2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$k + 1$

解题步骤 3

将 $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ 中的每一项乘以 $k + 1$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ 中的每一项乘以 $k + 1$ 。

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $k + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

解题步骤 3.3.2

将 $a$ 乘以 $1$ 。

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $k$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $a k$ 。

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

将 ${(k + 4)}^{2}$ 重写为 $(k + 4) (k + 4)$ 。

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

解题步骤 4.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(k + 4) (k + 4)$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用分配律。

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

解题步骤 4.1.2.2.2

运用分配律。

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

解题步骤 4.1.2.2.3

运用分配律。

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

解题步骤 4.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

解题步骤 4.1.2.3.1.2

将 $4$ 移到 $k$ 的左侧。

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

解题步骤 4.1.2.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $4 k$ 和 $4 k$ 相加。

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $a$ 。

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = 1$ 、 $b = 8 - a$ 和 $c = 16 - a$ 的值代入二次公式中并求解 $k$ 。

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

运用分配律。

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3

乘以 $- - a$ 。

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解题步骤 4.5.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3.2

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.4

将 ${(8 - a)}^{2}$ 重写为 $(8 - a) (8 - a)$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(8 - a) (8 - a)$ 。

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解题步骤 4.5.1.5.1

运用分配律。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.5.2

运用分配律。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.5.3

运用分配律。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.5.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1.6.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6.1.3

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6.1.5

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 4.5.1.6.1.5.1

移动 $a$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6.1.5.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6.1.7

将 $a^{2}$ 乘以 $1$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6.2

从 $- 8 a$ 中减去 $8 a$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.8

运用分配律。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.9

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.10

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.11

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.12

将 $- 16 a$ 和 $0$ 相加。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.13

将 $- 16 a$ 和 $4 a$ 相加。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.14

从 $a^{2} - 12 a$ 中分解出因数 $a$ 。

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解题步骤 4.5.1.14.1

从 $a^{2}$ 中分解出因数 $a$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.14.2

从 $- 12 a$ 中分解出因数 $a$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.14.3

从 $a \cdot a + a \cdot - 12$ 中分解出因数 $a$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

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