基础数学示例

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $k^{\frac{4}{3}}$ 重写为 ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 。

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = k^{\frac{2}{3}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $k^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

解题步骤 1.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ 并且它们的和为 $b = - 65$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $- 65 u$ 中分解出因数 $- 65$ 。

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

解题步骤 1.3.1.2

把 $- 65$ 重写为 $- 1$ 加 $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

解题步骤 1.3.1.3

运用分配律。

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

解题步骤 1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

解题步骤 1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $4 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $k^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

解题步骤 3

将 $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $k$ 。

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解题步骤 3.1

将 $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $k$ 的 $4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 k^{\frac{2}{3}} = 1$

解题步骤 3.2.2

将方程两边同时进行 $\frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3

化简指数。

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解题步骤 3.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.3.1.1

化简 ${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1.1

对 $4 k^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$4^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.2.1

约去公因数。

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.2.2

重写表达式。

$2^{3} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.1.1.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.3.2

将 ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.1.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.3.2.2.1

约去公因数。

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.3.2.2.2

重写表达式。

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.3.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.3.2.3.1

约去公因数。

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.3.2.3.2

重写表达式。

$8 k^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.4

化简。

$8 k = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$8 k = \pm 1$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$8 k = 1$

解题步骤 3.2.4.2

将 $8 k = 1$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $8 k = 1$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

解题步骤 3.2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

解题步骤 3.2.4.2.2.1.2

用 $k$ 除以 $1$ 。

$k = \frac{1}{8}$

解题步骤 3.2.4.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$8 k = - 1$

解题步骤 3.2.4.4

将 $8 k = - 1$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 3.2.4.4.1

将 $8 k = - 1$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 3.2.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.4.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 3.2.4.4.2.1.2

用 $k$ 除以 $1$ 。

$k = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 3.2.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$k = - \frac{1}{8}$

解题步骤 3.2.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}$

解题步骤 4

将 $k^{\frac{2}{3}} - 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $k$ 。

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解题步骤 4.1

将 $k^{\frac{2}{3}} - 16$ 设为等于 $0$ 。

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $k$ 的 $k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$k^{\frac{2}{3}} = 16$

解题步骤 4.2.2

将方程两边同时进行 $\frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3

化简指数。

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解题步骤 4.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.1.1

化简 ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

将 ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.3.1

约去公因数。

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.3.2

重写表达式。

$k^{1} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

化简。

$k = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.2.1

化简 $\pm 16^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$k = \pm {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$k = \pm 4^{3}$

解题步骤 4.2.3.2.1.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$k = \pm 64$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$k = 64$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$k = - 64$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$k = 64, - 64$

解题步骤 5

最终解为使 $(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$ 成立的所有值。

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

小数形式：

$k = 0.125, - 0.125, 64, - 64$

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