基础数学示例

${(9 - 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

$9^{3} + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$729 + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$729 + 3 \cdot 81 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$729 + 243 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.4

将 $- 4$ 乘以 $243$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.5

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.6

对 $- 4 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 ({(- 4)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.7

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.8

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.4.1

约去公因数。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.8.4.2

重写表达式。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{1}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.8.5

计算指数。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.9

乘以 $27 (16 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $16$ 乘以 $5$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 \cdot 80 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.9.2

将 $27$ 乘以 $80$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.10

对 $- 4 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4)}^{3} {\sqrt{5}}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.11

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 {\sqrt{5}}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.12

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{3}} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.13

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{125} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.14

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 1.2.14.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{25 (5)} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.14.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{2} \cdot 5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.15

从根式下提出各项。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 (5 \sqrt{5}) + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.2.16

将 $5$ 乘以 $- 64$ 。

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 320 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.3

将 $729$ 和 $2160$ 相加。

$2889 - 972 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.4

从 $- 972 \sqrt{5}$ 中减去 $320 \sqrt{5}$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

解题步骤 1.5

将除式重写为分数形式。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{{(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.6

使用二项式定理。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{9^{3} + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 3 \cdot 81 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.3

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 243 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.4

将 $- 4$ 乘以 $243$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.5

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.6

对 $- 4 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 ({(- 4)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.7

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.8

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 1.7.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.8.4.1

约去公因数。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.8.4.2

重写表达式。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{1}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.8.5

计算指数。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.9

乘以 $27 (16 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 1.7.9.1

将 $16$ 乘以 $5$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 \cdot 80 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.9.2

将 $27$ 乘以 $80$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

解题步骤 1.7.10

对 $- 4 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}$

解题步骤 1.7.11

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 {\sqrt{5}}^{3}}$

解题步骤 1.7.12

将 ${\sqrt{5}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{5^{3}}$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{3}}}$

解题步骤 1.7.13

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{125}}$

解题步骤 1.7.14

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 1.7.14.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{25 (5)}}$

解题步骤 1.7.14.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}$

解题步骤 1.7.15

从根式下提出各项。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 (5 \sqrt{5})}$

解题步骤 1.7.16

将 $5$ 乘以 $- 64$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 320 \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8

将 $729$ 和 $2160$ 相加。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 972 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5}}$

解题步骤 1.9

从 $- 972 \sqrt{5}$ 中减去 $320 \sqrt{5}$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$

解题步骤 1.10

将 $\frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}} \cdot \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$

解题步骤 1.11

将 $\frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{(2889 - 1292 \sqrt{5}) (2889 + 1292 \sqrt{5})}$

解题步骤 1.12

使用 FOIL 方法来展开分母。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{8346321 + 3732588 \sqrt{5} - 3732588 \sqrt{5} - 1669264 {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 1.13

化简。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{1}$

解题步骤 1.14

用 $2889 + 1292 \sqrt{5}$ 除以 $1$ 。

$2889 - 1292 \sqrt{5} + 2889 + 1292 \sqrt{5}$

解题步骤 2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1

将 $2889$ 和 $2889$ 相加。

$5778 - 1292 \sqrt{5} + 1292 \sqrt{5}$

解题步骤 2.2

将 $- 1292 \sqrt{5}$ 和 $1292 \sqrt{5}$ 相加。

$5778 + 0$

解题步骤 2.3

将 $5778$ 和 $0$ 相加。

$5778$

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