基础数学示例

$\frac{1}{{(3 - 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

$\frac{1}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{27 + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{27 + 3^{1 + 2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{27 + 3^{3} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{27 + 27 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.4

将 $- 2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.6

对 $- 2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.7

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.8.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{1}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.8.5

计算指数。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.9

乘以 $9 (4 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 \cdot 8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.9.2

将 $9$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.10

对 $- 2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.11

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.12

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{2^{3}}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.13

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{8}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.14

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.2.14.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{4 (2)}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.14.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.15

从根式下提出各项。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 (2 \sqrt{2})} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2.16

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 16 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.3

将 $27$ 和 $72$ 相加。

$\frac{1}{99 - 54 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.4

从 $- 54 \sqrt{2}$ 中减去 $16 \sqrt{2}$ 。

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}}$ 。

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}} \cdot \frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.6

将 $\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}}$ 。

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{(99 - 70 \sqrt{2}) (99 + 70 \sqrt{2})} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.7

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{9801 + 6930 \sqrt{2} - 6930 \sqrt{2} - 4900 {\sqrt{2}}^{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.8

化简。

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{1} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.9

用 $99 + 70 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.10

使用二项式定理。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11

化简每一项。

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解题步骤 1.11.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 1.11.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 1.11.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{1 + 2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{3} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 27 (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.4

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.6

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (2^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.11.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.8.4.1

约去公因数。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.8.4.2

重写表达式。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{1}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.8.5

计算指数。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.9

乘以 $9 (4 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 1.11.9.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 \cdot 8 + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.9.2

将 $9$ 乘以 $8$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

解题步骤 1.11.10

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 2^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

解题步骤 1.11.11

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 {\sqrt{2}}^{3}}$

解题步骤 1.11.12

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{2^{3}}}$

解题步骤 1.11.13

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{8}}$

解题步骤 1.11.14

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.11.14.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 1.11.14.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.11.15

从根式下提出各项。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 1.11.16

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 16 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.12

将 $27$ 和 $72$ 相加。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 54 \sqrt{2} + 16 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.13

将 $54 \sqrt{2}$ 和 $16 \sqrt{2}$ 相加。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.14

将 $\frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}} \cdot \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$

解题步骤 1.15

将 $\frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{(99 + 70 \sqrt{2}) (99 - 70 \sqrt{2})}$

解题步骤 1.16

使用 FOIL 方法来展开分母。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{9801 - 6930 \sqrt{2} + 6930 \sqrt{2} - 4900 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.17

化简。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 1.18

用 $99 - 70 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$99 + 70 \sqrt{2} + 99 - 70 \sqrt{2}$

解题步骤 2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1

将 $99$ 和 $99$ 相加。

$198 + 70 \sqrt{2} - 70 \sqrt{2}$

解题步骤 2.2

从 $70 \sqrt{2}$ 中减去 $70 \sqrt{2}$ 。

$198 + 0$

解题步骤 2.3

将 $198$ 和 $0$ 相加。

$198$

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