基础数学示例

$73$ , $79$ , $79$ , $79$ , $80$ , $81$ , $83$ , $85$ , $86$ , $87$ , $90$

解题步骤 1

求平均值。

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解题步骤 1.1

一组数的平均值为其总和除以其个数。

$\overline{x} = \frac{73 + 79 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

将 $73$ 和 $79$ 相加。

$\overline{x} = \frac{152 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.2

将 $152$ 和 $79$ 相加。

$\overline{x} = \frac{231 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.3

将 $231$ 和 $79$ 相加。

$\overline{x} = \frac{310 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.4

将 $310$ 和 $80$ 相加。

$\overline{x} = \frac{390 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.5

将 $390$ 和 $81$ 相加。

$\overline{x} = \frac{471 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.6

将 $471$ 和 $83$ 相加。

$\overline{x} = \frac{554 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.7

将 $554$ 和 $85$ 相加。

$\overline{x} = \frac{639 + 86 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.8

将 $639$ 和 $86$ 相加。

$\overline{x} = \frac{725 + 87 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.9

将 $725$ 和 $87$ 相加。

$\overline{x} = \frac{812 + 90}{11}$

解题步骤 1.2.10

将 $812$ 和 $90$ 相加。

$\overline{x} = \frac{902}{11}$

解题步骤 1.3

用 $902$ 除以 $11$ 。

$\overline{x} = 82$

解题步骤 2

化简列表中的每一个值。

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解题步骤 2.1

把 $73$ 转化成含小数位的数值。

$73$

解题步骤 2.2

把 $79$ 转化成含小数位的数值。

$79$

解题步骤 2.3

把 $80$ 转化成含小数位的数值。

$80$

解题步骤 2.4

把 $81$ 转化成含小数位的数值。

$81$

解题步骤 2.5

把 $83$ 转化成含小数位的数值。

$83$

解题步骤 2.6

把 $85$ 转化成含小数位的数值。

$85$

解题步骤 2.7

把 $86$ 转化成含小数位的数值。

$86$

解题步骤 2.8

把 $87$ 转化成含小数位的数值。

$87$

解题步骤 2.9

把 $90$ 转化成含小数位的数值。

$90$

解题步骤 2.10

化简值为 $73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$ 。

$73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$

解题步骤 3

建立样本标准差公式。一组数值的标准差是对数值分布情况的量度。

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

解题步骤 4

建立此数集的标准差公式。

$s = \sqrt{\frac{{(73 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5

化简结果。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

从 $73$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{{(- 9)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.2

对 $- 9$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.3

从 $79$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.5

从 $79$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.6

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.7

从 $79$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + {(- 3)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.8

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.9

从 $80$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.10

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.11

从 $81$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + {(- 1)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.12

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.13

从 $83$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.14

一的任意次幂都为一。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.15

从 $85$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 3^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.16

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.17

从 $86$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 4^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.18

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.19

从 $87$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 5^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.20

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.21

从 $90$ 中减去 $82$ 。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 8^{2}}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.22

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.23

将 $81$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{90 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.24

将 $90$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{99 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.25

将 $99$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{108 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.26

将 $108$ 和 $4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{112 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.27

将 $112$ 和 $1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{113 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.28

将 $113$ 和 $1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{114 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.29

将 $114$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{123 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.30

将 $123$ 和 $16$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{139 + 25 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.31

将 $139$ 和 $25$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{164 + 64}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.32

将 $164$ 和 $64$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{228}{11 - 1}}$

解题步骤 5.1.33

从 $11$ 中减去 $1$ 。

$s = \sqrt{\frac{228}{10}}$

解题步骤 5.2

约去 $228$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $228$ 中分解出因数 $2$ 。

$s = \sqrt{\frac{2 (114)}{10}}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 114}{2 \cdot 5}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 114}{2 \cdot 5}}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$s = \sqrt{\frac{114}{5}}$

解题步骤 5.3

将 $\sqrt{\frac{114}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.4

将 $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.5

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.5.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.5.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 5.5.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.6.4.1

约去公因数。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.6.4.2

重写表达式。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.5.6.5

计算指数。

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$s = \frac{\sqrt{114 \cdot 5}}{5}$

解题步骤 5.6.2

将 $114$ 乘以 $5$ 。

$s = \frac{\sqrt{570}}{5}$

解题步骤 6

标准差应四舍五入为比原始数据多一个小数位数。如果原始数据是混合数据，则应四舍五入至比最低精度多一个小数位数。

$4.8$

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