基础数学示例

$\frac{{(a + b)}^{3} + {(a - b)}^{3}}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中

$a = a + b$ 和

$b = a - b$ 。

$\frac{(a + b + a - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

将

$a$ 和

$a$ 相加。

$\frac{(2 a + b - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.2

从

$b$ 中减去

$b$ 。

$\frac{(2 a + 0) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.3

将

$2 a$ 和

$0$ 相加。

$\frac{2 a ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.4

将

${(a + b)}^{2}$ 重写为

$(a + b) (a + b)$ 。

$\frac{2 a ((a + b) (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.5

使用 FOIL 方法展开

$(a + b) (a + b)$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

运用分配律。

$\frac{2 a (a (a + b) + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.5.2

运用分配律。

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.5.3

运用分配律。

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.6.1.1

将

$a$ 乘以

$a$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.6.1.2

将

$b$ 乘以

$b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.6.2

将

$a b$ 和

$b a$ 相加。

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解题步骤 1.2.6.2.1

将

$b$ 和

$a$ 重新排序。

$\frac{2 a (a^{2} + a b + a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.6.2.2

将

$a b$ 和

$a b$ 相加。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.7

运用分配律。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (- a - b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.8

使用 FOIL 方法展开

$(- a - b) (a - b)$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

运用分配律。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a (a - b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.8.2

运用分配律。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.8.3

运用分配律。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.9.1.1

通过指数相加将

$a$ 乘以

$a$ 。

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解题步骤 1.2.9.1.1.1

移动

$a$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a) - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.1.2

将

$a$ 乘以

$a$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - 1 \cdot - 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.3

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.4

将

$a$ 乘以

$1$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.6

通过指数相加将

$b$ 乘以

$b$ 。

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解题步骤 1.2.9.1.6.1

移动

$b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.6.2

将

$b$ 乘以

$b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.7

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.1.8

将

$b^{2}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.2

从

$a b$ 中减去

$b a$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.1

移动

$b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - 1 a b + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.2.2

从

$a b$ 中减去

$a b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 0 + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.9.3

将

$- a^{2}$ 和

$0$ 相加。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.10

将

${(a - b)}^{2}$ 重写为

$(a - b) (a - b)$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + (a - b) (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.11

使用 FOIL 方法展开

$(a - b) (a - b)$ 。

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解题步骤 1.2.11.1

运用分配律。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a (a - b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.11.2

运用分配律。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.11.3

运用分配律。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.12.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.12.1.1

将

$a$ 乘以

$a$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12.1.4

通过指数相加将

$b$ 乘以

$b$ 。

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解题步骤 1.2.12.1.4.1

移动

$b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12.1.4.2

将

$b$ 乘以

$b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12.1.5

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12.1.6

将

$b^{2}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12.2

从

$- a b$ 中减去

$b a$ 。

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解题步骤 1.2.12.2.1

移动

$b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - 1 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.12.2.2

从

$- a b$ 中减去

$a b$ 。

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.13

从

$a^{2}$ 中减去

$a^{2}$ 。

$\frac{2 a (2 a b + b^{2} + 0 + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.14

将

$2 a b$ 和

$0$ 相加。

$\frac{2 a (b^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.15

将

$b^{2}$ 和

$b^{2}$ 相加。

$\frac{2 a (2 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.16

将

$2 b^{2}$ 和

$b^{2}$ 相加。

$\frac{2 a (3 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.17

从

$2 a b$ 中减去

$2 a b$ 。

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2} + 0)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 1.2.18

将

$3 b^{2} + a^{2}$ 和

$0$ 相加。

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1

约去

$a$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$\frac{2 (3 b^{2} + a^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

解题步骤 2.2

约去

$3 b^{2} + a^{2}$ 和

$a^{2} + 3 b^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

重新排序项。

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

解题步骤 2.2.3

用

$2$ 除以

$1$ 。

$2$

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