基础数学示例

$(k^{3} - k^{2} - k - 2) \div (k - 2)$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $k^{3} - k^{2} - k - 2$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{3} - 2^{2} - 2 - 2$

解题步骤 1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 2^{2} - 2 - 2$

解题步骤 1.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 1 \cdot 4 - 2 - 2$

解题步骤 1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$8 - 4 - 2 - 2$

解题步骤 1.3.5

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$4 - 2 - 2$

解题步骤 1.3.6

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$2 - 2$

解题步骤 1.3.7

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $k - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{k^{3} - k^{2} - k - 2}{k - 2}$

解题步骤 1.5

用 $k^{3} - k^{2} - k - 2$ 除以 $k - 2$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$k$

$2$

$k^{3}$

$k^{2}$

$k$

$2$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $k^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

					$k^{2}$
	$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$k^{2}$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			+	$k^{3}$	-	$2 k^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $k^{3} - 2 k^{2}$ 中的所有符号

				$k^{2}$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$k^{2}$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$k^{2}$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $k^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$
					+	$k^{2}$	-	$2 k$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $k^{2} - 2 k$ 中的所有符号

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$
					-	$k^{2}$	+	$2 k$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$
					-	$k^{2}$	+	$2 k$
							+	$k$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$
					-	$k^{2}$	+	$2 k$
							+	$k$	-	$2$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $k$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

				$k^{2}$	+	$k$	+	$1$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$
					-	$k^{2}$	+	$2 k$
							+	$k$	-	$2$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$k^{2}$	+	$k$	+	$1$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$
					-	$k^{2}$	+	$2 k$
							+	$k$	-	$2$
							+	$k$	-	$2$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $k - 2$ 中的所有符号

				$k^{2}$	+	$k$	+	$1$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$
					-	$k^{2}$	+	$2 k$
							+	$k$	-	$2$
							-	$k$	+	$2$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$k^{2}$	+	$k$	+	$1$
$k$	-	$2$		$k^{3}$	-	$k^{2}$	-	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$2 k^{2}$
					+	$k^{2}$	-	$k$
					-	$k^{2}$	+	$2 k$
							+	$k$	-	$2$
							-	$k$	+	$2$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$k^{2} + k + 1$

解题步骤 1.6

将 $k^{3} - k^{2} - k - 2$ 书写为因数的集合。

$(k - 2) (k^{2} + k + 1) \div (k - 2)$

解题步骤 2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1

通过约去公因数来化简表达式 $(k - 2) (k^{2} + k + 1) \div (k - 2)$ 。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$(k - 2) (k^{2} + k + 1) \div (k - 2)$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$\frac{k^{2} + k + 1}{1}$

解题步骤 2.2

用 $k^{2} + k + 1$ 除以 $1$ 。

$k^{2} + k + 1$

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