基础数学示例

sin (\frac{π}{2} + θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

解题步骤 1

使用正弦的和公式化简该表达式。该公式表述为

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ 。

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$1$ 。

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

解题步骤 2.1.1.2

将

$\cos (θ)$ 乘以

$1$ 。

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

解题步骤 2.1.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$0$ 。

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

解题步骤 2.1.1.4

将

$0$ 乘以

$\sin (θ)$ 。

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

解题步骤 2.1.2

将

$\cos (θ)$ 和

$0$ 相加。

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

将

$\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 4

等式两边同时乘以

$\cos (θ)$ 。

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

解题步骤 5

乘以

$\cos (θ) \cos (θ)$ 。

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解题步骤 5.1

对

$\cos (θ)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

解题步骤 5.2

对

$\cos (θ)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

解题步骤 5.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

解题步骤 5.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

解题步骤 6

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 7

约去

$\cos (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从

$- \cos (θ)$ 中分解出因数

$\cos (θ)$ 。

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

解题步骤 8

在等式两边都加上

$\sin (θ)$ 。

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 9

使用

$1 - \sin^{2} (θ)$ 替换

$\cos^{2} (θ)$ 。

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 10

求解

$θ$ 。

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解题步骤 10.1

代入

$u$ 替换

$\sin (θ)$ 。

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

解题步骤 10.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 10.3

将

$a = - 1$ 、

$b = 1$ 和

$c = 1$ 的值代入二次公式中并求解

$u$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

化简分子。

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解题步骤 10.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4.1.2

乘以

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 10.4.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4.1.2.2

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4.1.3

将

$1$ 和

$4$ 相加。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 10.4.2

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 10.4.3

化简

$\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10.5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10.6

代入

$\sin (θ)$ 替换

$u$ 。

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10.7

建立每一个解以求解

$θ$ 。

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 10.8

在

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 中求解

$θ$ 。

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解题步骤 10.8.1

正弦函数的值域是

$- 1 \leq y \leq 1$ 。因为

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 10.9

在

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 中求解

$θ$ 。

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解题步骤 10.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$θ$ 。

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 10.9.2

化简右边。

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解题步骤 10.9.2.1

计算

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ 。

$θ = - 0.66623943$

解题步骤 10.9.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

解题步骤 10.9.4

求解

$θ$ 。

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解题步骤 10.9.4.1

去掉圆括号。

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

解题步骤 10.9.4.2

去掉圆括号。

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

解题步骤 10.9.4.3

将

$3.14159265$ 和

$0.66623943$ 相加。

$θ = 3.80783208$

解题步骤 10.9.5

求

$\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 10.9.5.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.9.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.9.5.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.9.6

将

$2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 10.9.6.1

将

$2 π$ 加到

$- 0.66623943$ 以求正角。

$- 0.66623943 + 2 π$

解题步骤 10.9.6.2

从

$2 π$ 中减去

$0.66623943$ 。

$5.61694587$

解题步骤 10.9.6.3

列出新角。

$θ = 5.61694587$

解题步骤 10.9.7

$\sin (θ)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 10.10

列出所有解。

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

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