基础数学示例

\frac{8 p^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{8 p^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将

8 p^{3}

$8 p^{3}$ 重写为

{(2 p)}^{3}

${(2 p)}^{3}$ 。

\frac{{(2 p)}^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.2

将

1

$1$ 重写为

1^{3}

$1^{3}$ 。

\frac{{(2 p)}^{3} + 1^{3}}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1^{3}}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中

a = 2 p

$a = 2 p$ 和

b = 1

$b = 1$ 。

\frac{(2 p + 1) ({(2 p)}^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) ({(2 p)}^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

对

2 p

$2 p$ 运用乘积法则。

\frac{(2 p + 1) (2^{2} p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (2^{2} p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4.2

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4.3

将

2

$2$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4.4

将

- 2

$- 2$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4.5

一的任意次幂都为一。

\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(4 p^{3} + 20 p^{2}) - p - 5}$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{2} (p + 5) - (p + 5)}$

解题步骤 2.2

通过因式分解出最大公因数

$p + 5$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (4 p^{2} - 1)}$

解题步骤 2.3

将

$4 p^{2}$ 重写为

${(2 p)}^{2}$ 。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1)}$

解题步骤 2.4

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1^{2})}$

解题步骤 2.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = 2 p$ 和

$b = 1$ 。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

解题步骤 3

约去

$2 p + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$\frac{4 p^{2} - 2 p + 1}{(p + 5) (2 p - 1)}$

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