代数示例

$f (x) = \sqrt[3]{8 x} + 4$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[3]{8 x} + 4$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{8 x} + 4$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{8 y} + 4$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{8 y} + 4 = x$ 。

$\sqrt[3]{8 y} + 4 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$\sqrt[3]{8 y} = x - 4$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{8 y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{8 y}$ 重写成 ${(8 y)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(8 y)}^{1} = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简。

$8 y = {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x - 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$8 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

解题步骤 3.5

将 $8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $8 y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 12 x^{2}}{8} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 12 x^{2}}{8} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 12 x^{2}}{8} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去 $- 12$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.1

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{8} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (2)} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 \cdot 2} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{48 x}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.3

约去 $48$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.3.1

从 $48 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{8 (6 x)}{8} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{8 (6 x)}{8 (1)} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{8 (6 x)}{8 \cdot 1} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{6 x}{1} + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.3.2.4

用 $6 x$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x + \frac{- 64}{8}$

解题步骤 3.5.3.1.4

用 $- 64$ 除以 $8$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{8 x} + 4$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{8 x}$ 重写成 ${(8 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{({(8 x)}^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.2

对 $8 x$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(8^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.3

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{({(2^{3})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.5.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.6

计算指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.7

从 $2 x^{\frac{1}{3}} + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.7.1

从 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{3}}) + 4)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.7.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.7.3

从 $2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{3}} + 2))}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.8

对 $2 (x^{\frac{1}{3}} + 2)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{2^{3} {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.1.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3}}{8} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.3

用 ${(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.4

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.5.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.5.1.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.2

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{2} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.6

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 2^{3} - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.5.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(\sqrt[3]{8 x} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{8 x}$ 重写成 ${(8 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {({(8 x)}^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.2

对 $8 x$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(8^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.3

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {({(2^{3})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.6.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.5.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.6

计算指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.7

从 $2 x^{\frac{1}{3}} + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.7.1

从 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 (x^{\frac{1}{3}}) + 4)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.7.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.7.3

从 $2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 {(2 (x^{\frac{1}{3}} + 2))}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.8

对 $2 (x^{\frac{1}{3}} + 2)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 \cdot (2^{2} {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{3 \cdot (4 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.6.10

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{12 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.7

从 $12 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{2 (6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.8

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{2 (6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2 (1)} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.8.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{2 (6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2})}{2 \cdot 1} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.8.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - \frac{6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}}{1} + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.8.4

用 $6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 {(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.9

将 ${(x^{\frac{1}{3}} + 2)}^{2}$ 重写为 $(x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 ((x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2))) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.10

使用 FOIL 方法展开 $(x^{\frac{1}{3}} + 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2)$ 。

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解题步骤 5.2.3.10.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} + 2) + 2 (x^{\frac{1}{3}} + 2))) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.10.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 (x^{\frac{1}{3}} + 2))) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.10.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.11.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.11.1.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.11.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.11.1.1.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.11.1.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.11.1.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.11.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 4)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.11.2

将 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 (x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} + 4)) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.12

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 x^{\frac{2}{3}} + 6 (4 x^{\frac{1}{3}}) + 6 \cdot 4) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.13

化简。

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解题步骤 5.2.3.13.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 x^{\frac{2}{3}} + 24 x^{\frac{1}{3}} + 6 \cdot 4) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.13.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 x^{\frac{2}{3}} + 24 x^{\frac{1}{3}} + 24) + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.14

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - (6 x^{\frac{2}{3}}) - (24 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 24 + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.15

化简。

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解题步骤 5.2.3.15.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - (24 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 24 + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.15.2

将 $24$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 24 + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.15.3

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 6 (\sqrt[3]{8 x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.16

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.16.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 6 (\sqrt[3]{2^{3} x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.16.2

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 6 (2 \sqrt[3]{x} + 4) - 8$

解题步骤 5.2.3.17

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 6 (2 \sqrt[3]{x}) + 6 \cdot 4 - 8$

解题步骤 5.2.3.18

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 6 \cdot 4 - 8$

解题步骤 5.2.3.19

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 24 - 8$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 6 x^{\frac{2}{3}} + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 6 x^{\frac{2}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 24 - 8$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $6 x^{\frac{2}{3}}$ 中减去 $6 x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 + 0 - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 24 - 8$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 24 x^{\frac{1}{3}} - 24 + 12 \sqrt[3]{x} + 24 - 8$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 24$ 和 $24$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 24 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 12 \sqrt[3]{x} - 8$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 24 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 8 - 24 x^{\frac{1}{3}} + 12 \sqrt[3]{x} - 8$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 24 x^{\frac{1}{3}} + 12 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 12 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x + 12 x^{\frac{1}{3}} - 24 x^{\frac{1}{3}} + 12 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $12 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $24 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8 x} + 4) = x - 12 x^{\frac{1}{3}} + 12 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8)$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

要将 $- \frac{3 x^{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 $\frac{3 x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \cdot 4}{8} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 3 x^{2} \cdot 4}{8} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $x^{3} - 3 x^{2} \cdot 4$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.4.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} x - 3 x^{2} \cdot 4}{8} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.4.1.2

从 $- 3 x^{2} \cdot 4$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 \cdot 4)}{8} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.4.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} (- 3 \cdot 4)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 3 \cdot 4)}{8} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.4.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 12)}{8} + 6 x - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.5

要将 $6 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 12)}{8} + 6 x \cdot \frac{8}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.6

组合 $6 x$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 12)}{8} + \frac{6 x \cdot 8}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.7

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{2} (x - 12) + 6 x \cdot 8}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.8

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.8.1

从 $x^{2} (x - 12) + 6 x \cdot 8$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.8.1.1

从 $x^{2} (x - 12)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x (x - 12)) + 6 x \cdot 8}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.8.1.2

从 $6 x \cdot 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x (x - 12)) + x (6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.8.1.3

从 $x (x (x - 12)) + x (6 \cdot 8)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x (x - 12) + 6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.8.2

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 12 + 6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.8.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} + x \cdot - 12 + 6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.8.4

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot 8)}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.8.5

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 x + 48)}{8} - 8)} + 4$

解题步骤 5.3.3.9

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 x + 48)}{8} - 8 \cdot \frac{8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.10

组合 $- 8$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 x + 48)}{8} + \frac{- 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.11

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x (x^{2} - 12 x + 48) - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.12.1

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x \cdot x^{2} + x (- 12 x) + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.2

化简。

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解题步骤 5.3.3.12.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.12.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.12.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x \cdot x^{2} + x (- 12 x) + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{1 + 2} + x (- 12 x) + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} + x (- 12 x) + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x \cdot x + x \cdot 48 - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.2.3

将 $48$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x \cdot x + 48 \cdot x - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.12.3.1

移动 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 (x \cdot x) + 48 \cdot x - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 \cdot x - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 8 \cdot 8}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.4

将 $- 8$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.5

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ 。

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解题步骤 5.3.3.12.5.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ 。

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解题步骤 5.3.3.12.5.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.3

代入 $4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $4$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.3.3.12.5.1.3.1

将 $4$ 代入多项式。

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.3.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.3.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 12 \cdot 16 + 48 \cdot 4 - 64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.3.4

将 $- 12$ 乘以 $16$ 。

$64 - 192 + 48 \cdot 4 - 64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.3.5

从 $64$ 中减去 $192$ 。

$- 128 + 48 \cdot 4 - 64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.3.6

将 $48$ 乘以 $4$ 。

$- 128 + 192 - 64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.3.7

将 $- 128$ 和 $192$ 相加。

$64 - 64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.3.8

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$0$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.4

因为 $4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 4$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}{x - 4}$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5

用 $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ 除以 $x - 4$ 。

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解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 8 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x^{2} + 32 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $16 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 x - 64$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$
										$0$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 5.3.3.12.5.1.6

将 $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ 书写为因数的集合。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) (x^{2} - 8 x + 16)}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.5.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.3.12.5.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.5.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

解题步骤 5.3.3.12.5.2.3

重写多项式。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.5.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) {(x - 4)}^{2}}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.5.3

合并同类因式。

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解题步骤 5.3.3.12.5.3.1

对 $x - 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{(x - 4) {(x - 4)}^{2}}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.5.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{{(x - 4)}^{1 + 2}}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.12.5.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{8 (\frac{{(x - 4)}^{3}}{8})} + 4$

解题步骤 5.3.3.13

组合 $8$ 和 $\frac{{(x - 4)}^{3}}{8}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{\frac{8 {(x - 4)}^{3}}{8}} + 4$

解题步骤 5.3.3.14

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.14.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{8 {(x - 4)}^{3}}{8}$ 。

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解题步骤 5.3.3.14.1.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{\frac{8 {(x - 4)}^{3}}{8}} + 4$

解题步骤 5.3.3.14.1.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{\frac{{(x - 4)}^{3}}{1}} + 4$

解题步骤 5.3.3.14.2

用 ${(x - 4)}^{3}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}} + 4$

解题步骤 5.3.3.15

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = x - 4 + 4$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 4 + 4$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{8 x} + 4$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 x - 8$

代数 示例

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