代数示例

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

解题步骤 1

椭圆有两个一般方程。

水平椭圆方程 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

竖直椭圆方程 $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 2

$a$ 是顶点 $(5, 2)$ 和中心点 $(1, 2)$ 之间的距离。

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解题步骤 2.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将点的实际值代入距离公式中。

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

解题步骤 2.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$a = \sqrt{16 + 0}$

解题步骤 2.3.5

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$a = \sqrt{16}$

解题步骤 2.3.6

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$a = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 2.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = 4$

解题步骤 3

$c$ 是焦点 $(4, 2)$ 和中心点 $(1, 2)$ 之间的距离。

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解题步骤 3.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将点的实际值代入距离公式中。

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

解题步骤 3.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$c = \sqrt{9 + 0}$

解题步骤 3.3.5

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$c = \sqrt{9}$

解题步骤 3.3.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$c = \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 3.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$c = 3$

解题步骤 4

使用方程 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。代入 $4$ 替换 $a$ ，代入 $3$ 替换 $c$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 ${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ 。

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

解题步骤 4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - b^{2} = 3^{2}$

解题步骤 4.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - b^{2} = 9$

解题步骤 4.4

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.4.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$- b^{2} = 9 - 16$

解题步骤 4.4.2

从 $9$ 中减去 $16$ 。

$- b^{2} = - 7$

解题步骤 4.5

将 $- b^{2} = - 7$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.5.1

将 $- b^{2} = - 7$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.5.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.2

用 $b^{2}$ 除以 $1$ 。

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.5.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.3.1

用 $- 7$ 除以 $- 1$ 。

$b^{2} = 7$

解题步骤 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

解题步骤 4.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$b = \sqrt{7}$

解题步骤 4.7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$b = - \sqrt{7}$

解题步骤 4.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

解题步骤 5

$b$ 是距离，即应为一个正数。

$b = \sqrt{7}$

解题步骤 6

在焦点 $(4, 2)$ 和中点 $(1, 2)$ 之间的直线的斜率确定了椭圆是垂直还是水平。如果斜率为 $0$ ，那么图像为水平。如果斜率未定义，那么图像为垂直。

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解题步骤 6.1

斜率等于 $y$ 的变化与 $x$ 的变化之比，或者上升与前进之比。

$m = \frac{在 y 的变化}{在 x 的变化}$

解题步骤 6.2

$x$ 的变化等于 X 轴坐标差（也称行差）， $y$ 的变化等于 y 轴坐标差（也称矢高）。

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

解题步骤 6.3

将 $x$ 和 $y$ 的值代入方程中以求斜率。

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

解题步骤 6.4.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

解题步骤 6.4.2

化简分母。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$m = \frac{0}{1 - 4}$

解题步骤 6.4.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$m = \frac{0}{- 3}$

解题步骤 6.4.3

用 $0$ 除以 $- 3$ 。

$m = 0$

解题步骤 6.5

水平椭圆的一般方程为 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 7

将 $h = 1$ 、 $k = 2$ 、 $a = 4$ 和 $b = \sqrt{7}$ 的值代入 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 中以得到椭圆方程 $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ 。

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

解题步骤 8

化简求椭圆的最终方程。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 8.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

解题步骤 8.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

解题步骤 8.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.4.1

约去公因数。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

解题步骤 8.4.4.2

重写表达式。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

解题步骤 8.4.5

计算指数。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

解题步骤 9

代数 示例

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