代数示例

$y = \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

将 $y = \sin (x) + \cos (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 2

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 2.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = \sin (- x) + \cos (- x)$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\sin (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- x)$ 重写成 $- \sin (x)$ 。

$f (- x) = - \sin (x) + \cos (- x)$

解题步骤 2.2.2

因为 $\cos (- x)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- x)$ 重写成 $\cos (x)$ 。

$f (- x) = - \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 3

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 3.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 3.2

因为 $- \sin (x) + \cos (x)$ $\neq$ $\sin (x) + \cos (x)$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 4.1

求 $- f (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $\sin (x) + \cos (x)$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (\sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$- f (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 4.2

因为 $- \sin (x) + \cos (x)$ $\neq$ $- \sin (x) - \cos (x)$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

解题步骤 5

该函数既不是奇函数也不是偶函数

解题步骤 6

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