代数示例

${(a + b)}^{5}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(a + b)}^{5}$ , $n = 5$ ，所以展开系数将对应直线 $6$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ 。

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

解题步骤 3

将 $a$ $a$ 和 $b$ $b$ 的实际值代入表达式。

$1 {(a)}^{5} {(b)}^{0} + 5 {(a)}^{4} {(b)}^{1} + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(a)}^{5}$ 乘以 $1$ 。

${(a)}^{5} {(b)}^{0} + 5 {(a)}^{4} {(b)}^{1} + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

解题步骤 4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a^{5} \cdot 1 + 5 {(a)}^{4} {(b)}^{1} + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

解题步骤 4.3

将 $a^{5}$ 乘以 $1$ 。

$a^{5} + 5 {(a)}^{4} {(b)}^{1} + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

解题步骤 4.4

化简。

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

解题步骤 4.5

化简。

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

解题步骤 4.6

将 ${(a)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

解题步骤 4.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 {(b)}^{5}$

解题步骤 4.8

将 ${(b)}^{5}$ 乘以 $1$ 。

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

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