代数示例

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以

$\frac{1}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列：

$r = \frac{1}{3}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入

$a_{1} = 1$ 和

$r = \frac{1}{3}$ 的值。

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 4

将

${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 乘以

$1$ 。

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 5

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 6

一的任意次幂都为一。

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

解题步骤 7

这是求等比数列的前

$n$ 项之和的公式。要进行计算，求出

$r$ 和

$a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 8

使用已知值替换变量以求

$S_{4}$ 。

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9

将

$\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ 乘以

$1$ 。

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 10

将分数的分子和分母乘以

$3$ 。

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解题步骤 10.1

将

$\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ 乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 10.2

合并。

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

解题步骤 11

运用分配律。

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

约去公因数。

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.2

重写表达式。

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13

化简分子。

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解题步骤 13.1

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

从

$3^{4}$ 中分解出因数

$3$ 。

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2.3

重写表达式。

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.3

一的任意次幂都为一。

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.4

对

$3$ 进行

$3$ 次方运算。

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.5

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.6

要将

$- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{27}{27}$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.7

组合

$- 3$ 和

$\frac{27}{27}$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.8

在公分母上合并分子。

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.9

化简分子。

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解题步骤 13.9.1

将

$- 3$ 乘以

$27$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.9.2

从

$1$ 中减去

$81$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.10

将负号移到分数的前面。

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14

化简分母。

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解题步骤 14.1

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

解题步骤 14.2

从

$1$ 中减去

$3$ 。

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

解题步骤 15

将分子乘以分母的倒数。

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

解题步骤 16

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

将

$- \frac{80}{27}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

解题步骤 16.2

从

$- 80$ 中分解出因数

$2$ 。

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

解题步骤 16.3

从

$- 2$ 中分解出因数

$2$ 。

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 16.4

约去公因数。

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 16.5

重写表达式。

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

解题步骤 17

将

$\frac{- 40}{27}$ 乘以

$\frac{1}{- 1}$ 。

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

解题步骤 18

将

$27$ 乘以

$- 1$ 。

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

解题步骤 19

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{4} = \frac{40}{27}$

代数 示例

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