代数示例

f (x) = 2 x^{2} - 8

$f (x) = 2 x^{2} - 8$

解题步骤 1

将

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 写为等式。

$y = 2 x^{2} - 8$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 y^{2} - 8$

解题步骤 3

求解

$y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

$2 y^{2} - 8 = x$ 。

$2 y^{2} - 8 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上

$8$ 。

$2 y^{2} = x + 8$

解题步骤 3.3

将

$2 y^{2} = x + 8$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将

$2 y^{2} = x + 8$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用

$y^{2}$ 除以

$1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用

$8$ 除以

$2$ 。

$y^{2} = \frac{x}{2} + 4$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$

解题步骤 3.5

化简

$\pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$ 。

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解题步骤 3.5.1

要将

$4$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.5.2

组合

$4$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 4 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.4

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 8}{2}}$

解题步骤 3.5.5

将

$\sqrt{\frac{x + 8}{2}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.6

将

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.7.1

将

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.7.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.7.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.5.7.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.7.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 3.5.7.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.7.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.7.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.7.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.7.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.8

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 3.5.9

将

$\pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

解题步骤 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

解题步骤 5

验证

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 是否为

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 和

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效

$y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 8, \infty)$

解题步骤 5.3

求

$\frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将

$\sqrt{2 (x + 8)}$ 的被开方数设为大于或等于

$0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 (x + 8) \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将

$2 (x + 8) \geq 0$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将

$2 (x + 8) \geq 0$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.1.2

用

$x + 8$ 除以

$1$ 。

$x + 8 \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1.3.1

用

$0$ 除以

$2$ 。

$x + 8 \geq 0$

解题步骤 5.3.2.2

从不等式两边同时减去

$8$ 。

$x \geq - 8$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值

$x$ 。

$[- 8, \infty)$

解题步骤 5.4

求

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 的定义域为

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 的值域，而

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 的值域又为

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 的定义域，因此

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 为

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

解题步骤 6

代数 示例

代数示例