代数示例

$(3, \frac{1}{64})$

解题步骤 1

要求包含该点的指数函数 $f (x) = a^{x}$ ，请将函数中的 $f (x)$ 设为该点的 $y$ 值 $\frac{1}{64}$ ，并将 $x$ 设为该点的 $x$ 值 $3$ 。

$\frac{1}{64} = a^{3}$

解题步骤 2

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $a^{3} = \frac{1}{64}$ 。

$a^{3} = \frac{1}{64}$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{64}$ 。

$a^{3} - \frac{1}{64} = 0$

解题步骤 2.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{64}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{3}$ 。

$a^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

解题步骤 2.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = \frac{1}{4}$ 。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + a (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

组合 $a$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.3.2

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

解题步骤 2.3.3.3

一的任意次幂都为一。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

解题步骤 2.3.3.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

解题步骤 2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$a - \frac{1}{4} = 0$

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

解题步骤 2.5

将 $a - \frac{1}{4}$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $a - \frac{1}{4}$ 设为等于 $0$ 。

$a - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{4}$ 。

$a = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.6

将 $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ 设为等于 $0$ 。

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $a$ 的 $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

全部乘以最小公分母 $16$ ，然后化简。

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解题步骤 2.6.2.1.1

运用分配律。

$16 a^{2} + 16 (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

解题步骤 2.6.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.6.2.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.2.1.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$16 a^{2} + 4 (4) (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

解题步骤 2.6.2.1.2.1.2

约去公因数。

$16 a^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{a}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

解题步骤 2.6.2.1.2.1.3

重写表达式。

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

解题步骤 2.6.2.1.2.2

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.2.2.1

约去公因数。

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

解题步骤 2.6.2.1.2.2.2

重写表达式。

$16 a^{2} + 4 a + 1 = 0$

解题步骤 2.6.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.6.2.3

将 $a = 16$ 、 $b = 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $a$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4

化简。

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解题步骤 2.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.4.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.3

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.4

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.7

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.1.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 2.6.2.4.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.3

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.4

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.7

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.2.5.1.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 2.6.2.5.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.5.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.5.6

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 2.6.2.5.7

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 2.6.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.6.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.6.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.3

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.4

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.7

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.2.6.1.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.8

从根式下提出各项。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.6.2.6.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 2.6.2.6.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.6.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.6.6

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 2.6.2.6.7

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 2.6.2.6.8

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.6.2.7

最终答案为两个解的组合。

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.7

最终解为使 $(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ 成立的所有值。

$a = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.8

去掉所有含虚数分量的值。

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解题步骤 2.8.1

不存在虚数部分。将 $\frac{1}{4}$ 加至最终答案。

$\frac{1}{4}$ 是一个实数

解题步骤 2.8.2

字母 $i$ 表示虚数部分而不是实数。切勿将 $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ 加入到最终答案中。

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ 不是实数

解题步骤 2.8.3

字母 $i$ 表示虚数部分而不是实数。切勿将 $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ 加入到最终答案中。

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ 不是实数

解题步骤 2.8.4

最终答案为不含虚部的数值列表。

$a = \frac{1}{4}$

解题步骤 3

将 $a$ 的每个值代入回函数 $f (x) = a^{x}$ 中，以求出任何可能的指数函数。

$f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$

代数 示例

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