代数示例

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

解题步骤 1

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $b = - \frac{1}{2}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4

一的任意次幂都为一。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.6.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 5.7

化简表达式。

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解题步骤 5.7.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 5.7.2

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.8.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

解题步骤 5.8.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

解题步骤 5.9

化简表达式。

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解题步骤 5.9.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

解题步骤 5.9.2

在公分母上合并分子。

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

解题步骤 5.9.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

解题步骤 5.9.4

用 $4$ 除以 $4$ 。

$| z | = \sqrt{1}$

解题步骤 5.9.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| z | = 1$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}})$

解题步骤 7

因为 $\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为 $\frac{7 π}{6}$ 。

$θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8

代入 $θ = \frac{7 π}{6}$ 和 $| z | = 1$ 的值。

$\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})$

代数 示例

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