代数示例

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.4

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.5

通过指数相加将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

移动 $\sqrt{2}$ 。

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.5.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 ${\sqrt{2}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.5.2.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.6

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.8

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.9

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.11

对 $i \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.12

通过指数相加将 $\sqrt{2}$ 乘以 ${\sqrt{2}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.12.1

移动 ${\sqrt{2}}^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.12.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

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解题步骤 2.1.12.2.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.12.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.13

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.15

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.1.15.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.15.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.16

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.17

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.18

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.19

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.20

对 $i \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

解题步骤 2.1.21

因式分解出 $i^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

解题步骤 2.1.22

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

解题步骤 2.1.23

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

解题步骤 2.1.24

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

解题步骤 2.1.25

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

解题步骤 2.1.26

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.1.26.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 2.1.26.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.1.27

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

解题步骤 2.1.28

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中减去 $6 \sqrt{2}$ 。

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.2

重新排序 $6 \sqrt{2} i$ 的因式。

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.3

从 $6 i \sqrt{2}$ 中减去 $2 i \sqrt{2}$ 。

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.4

将 $4 i \sqrt{2}$ 和 $- 4 \sqrt{2}$ 重新排序。

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 4 \sqrt{2}$ 和 $b = 4 \sqrt{2}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

对 $4 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

对 $- 4 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 6.3.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 6.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.4.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

解题步骤 6.4.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

解题步骤 6.5

化简表达式。

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解题步骤 6.5.1

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

解题步骤 6.5.2

将 $32$ 和 $32$ 相加。

$| z | = \sqrt{64}$

解题步骤 6.5.3

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 6.5.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 8$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

解题步骤 8

因为 $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$θ = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 9

代入 $θ = \frac{3 π}{4}$ 和 $| z | = 8$ 的值。

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

代数 示例

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