代数示例

$z = 9 + 3 i$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = 9$ 和 $b = 3$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{3^{2} + 9^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{9 + 81}$

解题步骤 4.3

将 $9$ 和 $81$ 相加。

$| z | = \sqrt{90}$

解题步骤 4.4

将 $90$ 重写为 $3^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $90$ 中分解出因数 $9$ 。

$| z | = \sqrt{9 (10)}$

解题步骤 4.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

解题步骤 4.5

从根式下提出各项。

$| z | = 3 \sqrt{10}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{3}{9})$

解题步骤 6

因为 $\frac{3}{9}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $0.32175055$ 。

$θ = 0.32175055$

解题步骤 7

代入 $θ = 0.32175055$ 和 $| z | = 3 \sqrt{10}$ 的值。

$3 \sqrt{10} (\cos (0.32175055) + i \sin (0.32175055))$

解题步骤 8

使用三角函数替换等式的右边。

$z = 3 \sqrt{10} (\cos (0.32175055) + i \sin (0.32175055))$

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