代数示例

$\frac{x^{4}}{7} + 27$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{y^{4}}{7} + 27$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{y^{4}}{7} + 27 = x$ 。

$\frac{y^{4}}{7} + 27 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $27$ 。

$\frac{y^{4}}{7} = x - 27$

解题步骤 2.3

等式两边同时乘以 $7$ 。

$7 \frac{y^{4}}{7} = 7 (x - 27)$

解题步骤 2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1.1

约去公因数。

$7 \frac{y^{4}}{7} = 7 (x - 27)$

解题步骤 2.4.1.1.2

重写表达式。

$y^{4} = 7 (x - 27)$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 $7 (x - 27)$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

运用分配律。

$y^{4} = 7 x + 7 \cdot - 27$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $7$ 乘以 $- 27$ 。

$y^{4} = 7 x - 189$

解题步骤 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{7 x - 189}$

解题步骤 2.6

从 $7 x - 189$ 中分解出因数 $7$ 。

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解题步骤 2.6.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$y = \pm \sqrt[4]{7 (x) - 189}$

解题步骤 2.6.2

从 $- 189$ 中分解出因数 $7$ 。

$y = \pm \sqrt[4]{7 x + 7 \cdot - 27}$

解题步骤 2.6.3

从 $7 x + 7 \cdot - 27$ 中分解出因数 $7$ 。

$y = \pm \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

解题步骤 2.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

解题步骤 2.7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

解题步骤 2.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ 是否为 $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[27, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $\sqrt[4]{7 (x - 27)}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt[4]{7 (x - 27)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$7 (x - 27) \geq 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $7 (x - 27) \geq 0$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $7 (x - 27) \geq 0$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 (x - 27)}{7} \geq \frac{0}{7}$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 (x - 27)}{7} \geq \frac{0}{7}$

解题步骤 4.3.2.1.2.1.2

用 $x - 27$ 除以 $1$ 。

$x - 27 \geq \frac{0}{7}$

解题步骤 4.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $7$ 。

$x - 27 \geq 0$

解题步骤 4.3.2.2

在不等式两边同时加上 $27$ 。

$x \geq 27$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[27, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ 的定义域为 $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ 的值域又为 $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ 为 $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

解题步骤 5

代数 示例

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