代数示例

\sqrt{x^{3} + 1}

$\sqrt{x^{3} + 1}$

解题步骤 1

将

$\sqrt{x^{3} + 1}$ 的被开方数设为大于或等于

$0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{3} + 1 \geq 0$

解题步骤 2

求解

$x$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去

$1$ 。

$x^{3} \geq - 1$

解题步骤 2.2

在不等式两边同时加上

$1$ 。

$x^{3} + 1 \geq 0$

解题步骤 2.3

把不等式转换成方程。

$x^{3} + 1 = 0$

解题步骤 2.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.1

将

$1$ 重写为

$1^{3}$ 。

$x^{3} + 1^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中

$a = x$ 和

$b = 1$ 。

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.4.3

化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.4.3.2

一的任意次幂都为一。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

解题步骤 2.5

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 2.6

将

$x + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将

$x + 1$ 设为等于

$0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去

$1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.7

将

$x^{2} - x + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将

$x^{2} - x + 1$ 设为等于

$0$ 。

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 2.7.2

求解

$x$ 的

$x^{2} - x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.7.2.2

将

$a = 1$ 、

$b = - 1$ 和

$c = 1$ 的值代入二次公式中并求解

$x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3

化简。

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解题步骤 2.7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.2.3.1.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.7.2.3.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.3

从

$1$ 中减去

$4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.4

将

$- 3$ 重写为

$- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.5

将

$\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.2.4

化简表达式以求

$\pm$ 在

$+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.2.4.1.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.7.2.4.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.3

从

$1$ 中减去

$4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.4

将

$- 3$ 重写为

$- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.5

将

$\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.2.4.3

将

$\pm$ 变换为

$+$ 。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.2.5

化简表达式以求

$\pm$ 在

$-$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.2.5.1.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.7.2.5.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.3

从

$1$ 中减去

$4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.4

将

$- 3$ 重写为

$- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.5

将

$\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.2.5.3

将

$\pm$ 变换为

$-$ 。

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.8

最终解为使

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.9

确定首项系数。

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解题步骤 2.9.1

多项式的首项指的是次数最高的项。

$x^{3}$

解题步骤 2.9.2

多项式中的首项系数指的是首项的系数。

$1$

解题步骤 2.10

因为没有真正的 x 轴截距，且首项系数为正数，所以抛物线开口向上且

$x^{3} + 1$ 总是大于

$0$ 。

所有实数

解题步骤 3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

代数 示例

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