代数示例

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 2.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = a {(- x)}^{2} + b (- x) + c$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = a ({(- 1)}^{2} x^{2}) + b (- x) + c$

解题步骤 2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$f (- x) = {(- 1)}^{2} a x^{2} + b (- x) + c$

解题步骤 2.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = 1 a x^{2} + b (- x) + c$

解题步骤 2.2.4

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = a x^{2} + b (- x) + c$

解题步骤 2.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$f (- x) = a x^{2} - b x + c$

解题步骤 3

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 3.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 3.2

因为 $a x^{2} - b x + c$ $\neq$ $a x^{2} + b x + c$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 4.1

求 $- f (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $a x^{2} + b x + c$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (a x^{2} + b x + c)$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$- f (x) = - (a x^{2}) - (b x) - c$

解题步骤 4.1.3

去掉圆括号。

$- f (x) = - a x^{2} - b x - c$

解题步骤 4.2

因为 $a x^{2} - b x + c$ $\neq$ $- a x^{2} - b x - c$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

解题步骤 5

该函数既不是奇函数也不是偶函数

解题步骤 6

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 7

因为函数不是偶函数，所以没有关于 y 轴对称。

不存在 y 轴对称

解题步骤 8

因为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以没有关于原点 / y 轴对称。

函数不对称

解题步骤 9

代数 示例

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