代数示例

$f (x) = - 4 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$f (x) = - 4 ((x - 4) (x - 4)) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$f (x) = - 4 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x) = - 4 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f (x) = - 4 (x^{2} - 8 x + 16) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$f (x) = (- 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.5.2

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$

解题步骤 2.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$ 。

$f (x) = - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7

化简项。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f (x) = - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x) = - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f (x) = - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{2 + 1} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.4

将 $- 4$ 乘以 $32$ 。

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

解题步骤 2.7.1.5

将 $- 64$ 乘以 $- 4$ 。

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} + 256$

解题步骤 2.7.2

从 $16 x^{2}$ 中减去 $64 x^{2}$ 。

$f (x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$

解题步骤 3

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 3.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = - 4 {(- x)}^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 4 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- x) = - 4 (1 x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 (1 x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.6

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.7

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 (- x^{3}) - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.9

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} - 128 (- x) + 256$

解题步骤 3.2.10

将 $- 1$ 乘以 $- 128$ 。

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 4.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 4.2

因为 $- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 5

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 5.1

求 $- f (x)$ 。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256)$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$- f (x) = - (- 4 x^{4}) - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = 4 x^{4} - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

解题步骤 5.1.3.2

将 $- 48$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

解题步骤 5.1.3.3

将 $32$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

解题步骤 5.1.3.4

将 $- 128$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 1 \cdot 256$

解题步骤 5.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $256$ 。

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$

解题步骤 5.2

因为 $- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

解题步骤 6

该函数既不是奇函数也不是偶函数

解题步骤 7

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 8

因为函数不是偶函数，所以没有关于 y 轴对称。

不存在 y 轴对称

解题步骤 9

因为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以没有关于原点 / y 轴对称。

函数不对称

解题步骤 10

代数 示例

代数示例