代数示例

$y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$ 。

$\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

解题步骤 2.2.2

组合 $y$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{43}{9} = x$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} = x$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} - x = 0$

解题步骤 2.4

全部乘以最小公分母 $18$ ，然后化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$18 (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2

化简。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

从 $18$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (3) (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去公因数。

$6 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{6})) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.1.3

重写表达式。

$3 y^{2} + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $- \frac{4 y}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 y^{2} + 18 (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.2

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 y^{2} + 3 (6) (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

约去公因数。

$3 y^{2} + 3 \cdot (6 (\frac{- 4 y}{3})) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.2.4

重写表达式。

$3 y^{2} + 6 (- 4 y) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$3 y^{2} - 24 y + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.4

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.4.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$3 y^{2} - 24 y + 9 (2) (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.4.2

约去公因数。

$3 y^{2} - 24 y + 9 \cdot (2 (\frac{43}{9})) + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.4.3

重写表达式。

$3 y^{2} - 24 y + 2 \cdot 43 + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.5

将 $2$ 乘以 $43$ 。

$3 y^{2} - 24 y + 86 + 18 (- x) = 0$

解题步骤 2.4.2.6

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$3 y^{2} - 24 y + 86 - 18 x = 0$

解题步骤 2.4.3

移动 $86$ 。

$3 y^{2} - 24 y - 18 x + 86 = 0$

解题步骤 2.4.4

移动 $- 24 y$ 。

$3 y^{2} - 18 x - 24 y + 86 = 0$

解题步骤 2.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.6

将 $a = 3$ 、 $b = - 24$ 和 $c = - 18 x + 86$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 18 x + 86))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $- 18$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.5

将 $- 12$ 乘以 $86$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.6

从 $576$ 中减去 $1032$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.7

从 $216 x - 456$ 中分解出因数 $24$ 。

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解题步骤 2.7.1.7.1

从 $216 x$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.7.2

从 $- 456$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.7.3

从 $24 (9 x) + 24 (- 19)$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.8

将 $24 (9 x - 19)$ 重写为 $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ 。

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解题步骤 2.7.1.8.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.8.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.8.4

添加圆括号。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.10

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.3

运用分配律。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $- 18$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.5

将 $- 12$ 乘以 $86$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.6

从 $576$ 中减去 $1032$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.7

从 $216 x - 456$ 中分解出因数 $24$ 。

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解题步骤 2.8.1.7.1

从 $216 x$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.7.2

从 $- 456$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.7.3

从 $24 (9 x) + 24 (- 19)$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.8

将 $24 (9 x - 19)$ 重写为 $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ 。

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解题步骤 2.8.1.8.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.8.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.8.4

添加圆括号。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.10

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

解题步骤 2.8.3

化简 $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

解题步骤 2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

解题步骤 2.9

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.9.1

化简分子。

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解题步骤 2.9.1.1

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.3

运用分配律。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.4

将 $- 18$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.5

将 $- 12$ 乘以 $86$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.6

从 $576$ 中减去 $1032$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.7

从 $216 x - 456$ 中分解出因数 $24$ 。

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解题步骤 2.9.1.7.1

从 $216 x$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.7.2

从 $- 456$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.7.3

从 $24 (9 x) + 24 (- 19)$ 中分解出因数 $24$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.8

将 $24 (9 x - 19)$ 重写为 $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ 。

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解题步骤 2.9.1.8.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.8.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.8.4

添加圆括号。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.1.10

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.9.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

解题步骤 2.9.3

化简 $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ 。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

解题步骤 2.9.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

解题步骤 2.10

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[\frac{19}{9}, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $\frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{6 (9 x - 19)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$6 (9 x - 19) \geq 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $6 (9 x - 19) \geq 0$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $6 (9 x - 19) \geq 0$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

解题步骤 4.3.2.1.2.1.2

用 $9 x - 19$ 除以 $1$ 。

$9 x - 19 \geq \frac{0}{6}$

解题步骤 4.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $6$ 。

$9 x - 19 \geq 0$

解题步骤 4.3.2.2

在不等式两边同时加上 $19$ 。

$9 x \geq 19$

解题步骤 4.3.2.3

将 $9 x \geq 19$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将 $9 x \geq 19$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.3.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

解题步骤 4.3.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{19}{9}$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[\frac{19}{9}, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ 的定义域为 $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ 的值域又为 $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ 为 $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

解题步骤 5

代数 示例

代数示例