代数示例

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

解题步骤 4.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

解题步骤 4.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

解题步骤 4.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

解题步骤 4.1.5

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 - 5 + 6$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 1 - 5 + 6$

解题步骤 4.2.2

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$- 6 + 6$

解题步骤 4.2.3

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $1$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

解题步骤 6.5

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(- 2)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 1)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(- 1)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

解题步骤 6.9

将结果 $(- 1)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(- 1)$ 的结果置于被除数 $(- 5)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

解题步骤 6.11

将结果 $(- 6)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(- 6)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

解题步骤 6.12

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

解题步骤 6.13

将结果 $(- 6)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(- 6)$ 的结果置于被除数 $(6)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

解题步骤 6.14

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

解题步骤 6.15

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

解题步骤 6.16

化简商多项式。

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

解题步骤 7

求解方程以求出所有其余根。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

重新组合项。

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.2

从 $x^{5} - x^{3} - 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.2.2

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.2.3

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.2.4

从 $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.2.5

从 $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 7.1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.6

因数。

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解题步骤 7.1.6.1

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.6.2

去掉多余的括号。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.7

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 7.1.8

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

解题步骤 7.1.9

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 7.1.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

解题步骤 7.1.10

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 7.1.11

从 $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 7.1.11.1

从 $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 。

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 7.1.11.2

从 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 。

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

解题步骤 7.1.11.3

从 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ 中分解出因数 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 。

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 7.3

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} = 3$

解题步骤 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.3.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 7.4

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} = - 2$

解题步骤 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 7.4.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

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解题步骤 7.4.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 7.4.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 7.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 7.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 7.6

最终解为使 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

解题步骤 8

多项式可写成一组线性因式。

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

解题步骤 9

这些是多项式 $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ 的根（零点）。

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

解题步骤 10

代数 示例

代数示例